Question

Dados tres enteros positivos $a,$ $b,$ y $c.$ Su máximo común divisor es $D;$ su mínimo común múltiplo es $M.$ Entonces, ¿cuáles dos de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

$(1)$ El producto $MD$ no puede ser menor que $abc.$

$(2)$ El producto $MD$ no puede ser mayor que $abc.$

$(3)$ $MD$ es igual a $abc$ si y solo si $a,$ $b,$ $c$ son primos.

$(4)$ $MD$ es igual a $abc$ si y solo si $a,$ $b,$ $c$ son primos relativos por pares. (Esto significa que ningún par tiene un factor común mayor que $1.$ )

Given three positive integers $a,$ $b,$ and $c.$ Their greatest common divisor is $D;$ their least common multiple is $M.$ Then, which two of the following statements are true?

$(1)$ The product $MD$ cannot be less than $abc.$

$(2)$ The product $MD$ cannot be greater than $abc.$

$(3)$ $MD$ equals $abc$ if and only if $a,$ $b,$ $c$ are each prime.

$(4)$ $MD$ equals $abc$ if and only if $a,$ $b,$ $c$ are relatively prime in pairs. (This means: no two have a common factor greater than $1.$ )

$1,$ $2$

$1,$ $3$

$1,$ $4$

$2,$ $3$

$2,$ $4$

Respuesta: E

Conceptos:máximo común divisor mínimo común múltiplo factorización en primos

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

Para un primo, ordena sus exponentes en $a,b,c$ como $u\le v\le w$

For one prime, order its exponents in $a,b,c$ as $u\le v\le w$

Pista grande:

Compara el exponente $u+w$ en $MD$ con el exponente $u+v+w$ en $abc$

Compare the exponent $u+w$ in $MD$ with the exponent $u+v+w$ in $abc$

Solución:

Para cualquier primo, sean sus exponentes en $a,b,c$ iguales a $u\le v\le w.$ Su exponente en $MD$ es $u+w,$ mientras que en $abc$ es $u+v+w.$ Por lo tanto, $MD\le abc,$ lo que demuestra la afirmación $(2).$ La igualdad se cumple exactamente cuando $v=0$ para todo primo, lo cual significa que ningún primo divide a dos de $a,b,c.$ Esto es precisamente ser primos relativos por pares, lo que demuestra la afirmación $(4).$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

For any prime, let its exponents in $a,b,c$ be $u\le v\le w.$ Its exponent in $MD$ is $u+w,$ while its exponent in $abc$ is $u+v+w.$ Thus $MD\le abc,$ proving statement $(2).$ Equality holds exactly when $v=0$ for every prime, meaning no prime divides two of $a,b,c.$ That is precisely pairwise relative primality, proving statement $(4).$

Therefore, the correct answer is E.

1959 AMC 12 Problema 42

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 42 en otros años