Question

Si $S=i^n+i^{-n},$ donde $i=\sqrt{-1}$ y $n$ es un entero, entonces el número total de valores distintos posibles de $S$ es:

If $S=i^n+i^{-n},$ where $i=\sqrt{-1}$ and $n$ is an integer, then the total number of possible distinct values for $S$ is:

$1$

$2$

$3$

$4$

más de $4$

more than $4$

Respuesta: C

Conceptos:número complejo raíces de la unidad aritmética modular

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Las potencias de $i$ se repiten con período cuatro

Powers of $i$ repeat with period four

Pista grande:

Revisa un representante de cada clase de residuos de $n$ módulo $4$

Check one representative of each residue class of $n$ modulo $4$

Solución:

Si $n$ es par, $i^n$ es $1$ o $-1$ e igual a su recíproco, por lo que $S=2$ o $-2.$ Si $n$ es impar, los dos términos son $i$ y $-i,$ en algún orden, por lo que $S=0.$ Así, los valores distintos son $-2,\ 0,\ 2,$ tres valores.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

If $n$ is even, $i^n$ is $1$ or $-1$ and equals its reciprocal, so $S=2$ or $-2.$ If $n$ is odd, the two terms are $i$ and $-i,$ in some order, so $S=0.$ Thus the distinct values are $-2,\ 0,\ 2,$ three values.

Therefore, the correct answer is C.

1957 AMC 12 Problema 42

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 42 en otros años