Question

Sea $D$ un decimal periódico. Si $P$ denota las $r$ cifras de $D$ que no se repiten y $Q$ denota las $s$ cifras que sí se repiten, entonces la expresión incorrecta es:

Let $D$ represent a repeating decimal. If $P$ denotes the $r$ figures of $D$ which do not repeat themselves, and $Q$ denotes the $s$ figures which do repeat themselves, then the incorrect expression is:

$D=0.PQQQ\ldots$

$10^rD=P.QQQ\ldots$

$10^{r+s}D=PQ.QQQ\ldots$

$10^r(10^s-1)D=Q(P-1)$

$10^r\cdot10^{2s}D=$ $PQQ.QQQ\ldots$

Respuesta: D

Conceptos:decimal periódico valor posicional manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2060

Pista pequeña:

Desplaza el punto decimal primero más allá de las $r$ cifras no periódicas y luego más allá de un bloque de $s$ cifras periódicas

Shift the decimal point first past the $r$ nonrepeating digits and then past one block of $s$ repeating digits

Pista grande:

Resta $10^rD$ de $10^{r+s}D$ y compara el resultado con la opción D

Subtract $10^rD$ from $10^{r+s}D$ and compare the result with choice D

Solución:

Después de desplazar el punto más allá del bloque no periódico, $10^rD=P.QQQ\ldots,$ y después de desplazarlo un bloque periódico más, $10^{r+s}D=PQ.QQQ\ldots.$ Al restar se obtiene la relación estándar $\begin{gathered} 10^r(10^s-1)D \\ =P(10^s-1)+Q. \end{gathered}$ Esto no es $Q(P-1),$ como afirma la opción D.

Por lo tanto, la expresión incorrecta, y con ello la respuesta correcta, es D.

After shifting past the nonrepeating block, $10^rD=P.QQQ\ldots,$ and after shifting one repeating block farther, $10^{r+s}D=PQ.QQQ\ldots.$ Subtracting yields the standard relation $\begin{gathered} 10^r(10^s-1)D \\ =P(10^s-1)+Q. \end{gathered}$ This is not $Q(P-1),$ as stated in choice D.

Thus, the incorrect expression, and hence the correct answer, is D.

1952 AMC 12 Problema 42

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2060

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 42 en otros años