Question

El diámetro de un círculo se divide en $n$ partes iguales. Sobre cada parte se construye un semicírculo. Cuando $n$ se hace muy grande, la suma de las longitudes de los arcos de los semicírculos se aproxima a una longitud:

The diameter of a circle is divided into $n$ equal parts. On each part a semicircle is constructed. As $n$ becomes very large, the sum of the lengths of the arcs of the semicircles approaches a length:

Igual a la semicircunferencia del círculo original

Equal to the semi-circumference of the original circle

Igual al diámetro del círculo original

Equal to the diameter of the original circle

Mayor que el diámetro pero menor que la semicircunferencia del círculo original

Greater than the diameter but less than the semi-circumference of the original circle

Infinita

That is infinite

Mayor que la semicircunferencia pero finita

Greater than the semi-circumference but finite

Respuesta: A

Conceptos:círculo arco circunferencia

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Sea $d$ el diámetro original, de modo que cada semicírculo pequeño tenga diámetro $\frac{d}{n}$

Let the original diameter be $d$ , so each small semicircle has diameter $\frac{d}{n}$

Pista grande:

Multiplica la longitud del arco de un semicírculo pequeño por el número $n$ de partes

Multiply the arc length of one small semicircle by the number $n$ of parts

Solución:

Cada semicírculo pequeño tiene diámetro $\frac{d}{n},$ por lo que la longitud de su arco es $\frac{\pi d}{2n}.$ La suma de las $n$ longitudes de arco es $n\cdot\frac{\pi d}{2n}=\frac{\pi d}{2},$ exactamente la semicircunferencia del círculo original. Esta igualdad se cumple para todo $n$ positivo, no solo en el límite.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Each small semicircle has diameter $\frac{d}{n},$ so its arc length is $\frac{\pi d}{2n}.$ The sum of all $n$ arc lengths is $n\cdot\frac{\pi d}{2n}=\frac{\pi d}{2},$ exactly the semi-circumference of the original circle. This equality holds for every positive $n,$ not merely in the limit.

Thus, the correct answer is A.

1952 AMC 12 Problema 43

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 43 en otros años