Question

La suma hasta el infinito de $\dfrac17+\dfrac{2}{7^2}+\dfrac{1}{7^3}+\dfrac{2}{7^4}+\cdots$ es:

The sum to infinity of $\dfrac17+\dfrac{2}{7^2}+\dfrac{1}{7^3}+\dfrac{2}{7^4}+\cdots$ is:

$\dfrac15$

$\dfrac1{24}$

$\dfrac5{48}$

$\dfrac1{16}$

Ninguna de estas

None of these

Respuesta: E

Conceptos:sucesión geométrica sumatoria

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Agrupa la serie en pares de términos consecutivos

Group the series into consecutive pairs of terms

Pista grande:

Cada par es $\frac{1}{49}$ veces el par anterior

Each pair is $\frac{1}{49}$ times the preceding pair

Solución:

Al agrupar términos consecutivos se obtiene una serie geométrica cuyo primer término agrupado es $\frac17+\frac2{49}=\frac9{49}$ y cuya razón es $\tfrac1{49}.$ Por ello, la suma es $\frac{\frac9{49}}{1-\frac1{49}} =\frac9{48} =\frac3{16}.$ Este valor no aparece entre las opciones A a D.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Grouping consecutive terms gives a geometric series whose first grouped term is $\frac17+\frac2{49}=\frac9{49}$ and whose ratio is $\tfrac1{49}.$ Hence the sum is $\frac{\frac9{49}}{1-\frac1{49}} =\frac9{48} =\frac3{16}.$ This is not among choices A through D.

Thus, the correct answer is E.

1950 AMC 12 Problema 43

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 43 en otros años