1951 AMC 12 Problema 43
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Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).
43.
De las siguientes afirmaciones, la única incorrecta es:
Of the following statements, the only one that is incorrect is:
Una desigualdad seguirá siendo verdadera si a ambos miembros se les suma, resta, multiplica o divide (excluyendo cero) por la misma cantidad positiva.
An inequality will remain true after each side is increased, decreased, multiplied, or divided (zero excluded) by the same positive quantity.
La media aritmética de dos cantidades positivas distintas es mayor que su media geométrica.
The arithmetic mean of two unequal positive quantities is greater than their geometric mean.
Si se fija la suma de dos cantidades positivas, su producto es máximo cuando son iguales.
If the sum of two positive quantities is given, their product is largest when they are equal.
Si y son positivos y distintos, es mayor que
If and are positive and unequal, is greater than
Si se fija el producto de dos cantidades positivas, su suma es máxima cuando son iguales.
If the product of two positive quantities is given, their sum is greatest when they are equal.
Respuesta: E
Pista pequeña:
Para un producto positivo fijo, compara la suma cuando los factores son iguales con las sumas de factores cada vez más desiguales
For a fixed positive product, compare the sum at equality with sums from increasingly unequal factors
Pista grande:
La desigualdad entre las medias aritmética y geométrica da un mínimo, no un máximo, para la suma cuando el producto está fijado
AM-GM gives a minimum, not a maximum, for the sum when the product is fixed
Solución:
Si entonces con igualdad cuando Por lo tanto, la igualdad da la menor suma posible. La suma puede crecer sin límite tomando grande y pequeño, así que no es máxima cuando los factores son iguales.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
If then with equality at Thus equality gives the least possible sum. The sum can grow without bound by taking large and small, so it is not greatest at equality.
Thus, the correct answer is E.