Question

Si $\dfrac{xy}{x+y}=a,$ $\dfrac{xz}{x+z}=b,$ y $\dfrac{yz}{y+z}=c,$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son distintos de cero, entonces $x$ es igual a:

If $\dfrac{xy}{x+y}=a,$ $\dfrac{xz}{x+z}=b,$ and $\dfrac{yz}{y+z}=c,$ where $a,$ $b,$ $c$ are other than zero, then $x$ equals:

$\dfrac{abc}{ab+ac+bc}$

$\dfrac{2abc}{ab+bc+ac}$

$\dfrac{2abc}{ab+ac-bc}$

$\dfrac{2abc}{ab+bc-ac}$

$\dfrac{2abc}{ac+bc-ab}$

Respuesta: E

Conceptos:sistema de ecuaciones manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Invierte las tres ecuaciones dadas para hacerlas lineales en $\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z}$

Invert all three given equations to make them linear in $\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z}$

Pista grande:

Calcula $\dfrac1b+\dfrac1a-\dfrac1c=\dfrac2x$

Compute $\dfrac1b+\dfrac1a-\dfrac1c=\dfrac2x$

Solución:

Al invertir se obtiene $\begin{gathered} \frac1x+\frac1y=\frac1a,\\ \frac1x+\frac1z=\frac1b,\\ \frac1y+\frac1z=\frac1c. \end{gathered}$ Al sumar las dos primeras ecuaciones y restar la tercera se obtiene $\begin{aligned} \frac2x &=\frac1a+\frac1b-\frac1c\\ &=\frac{ac+bc-ab}{abc}. \end{aligned}$ Por consiguiente, $x=\dfrac{2abc}{ac+bc-ab}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Inverting gives $\begin{gathered} \frac1x+\frac1y=\frac1a,\\ \frac1x+\frac1z=\frac1b,\\ \frac1y+\frac1z=\frac1c. \end{gathered}$ Adding the first two and subtracting the third yields $\begin{aligned} \frac2x &=\frac1a+\frac1b-\frac1c\\ &=\frac{ac+bc-ab}{abc}. \end{aligned}$ Hence $x=\dfrac{2abc}{ac+bc-ab}.$

Thus, the correct answer is E.

1951 AMC 12 Problema 44

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 44 en otros años