Question

Dadas las afirmaciones verdaderas:

$1.$ Si $a$ es mayor que $b,$ entonces $c$ es mayor que $d.$

$2.$ Si $c$ es menor que $d,$ entonces $e$ es mayor que $f.$

Una conclusión válida es:

Given the true statements:

$1.$ If $a$ is greater than $b,$ then $c$ is greater than $d.$

$2.$ If $c$ is less than $d,$ then $e$ is greater than $f.$

A valid conclusion is:

Si $a$ es menor que $b,$ entonces $e$ es mayor que $f$

If $a$ is less than $b,$ then $e$ is greater than $f$

Si $e$ es mayor que $f,$ entonces $a$ es menor que $b$

If $e$ is greater than $f,$ then $a$ is less than $b$

Si $e$ es menor que $f,$ entonces $a$ es mayor que $b$

If $e$ is less than $f,$ then $a$ is greater than $b$

Si $a$ es mayor que $b,$ entonces $e$ es menor que $f$

If $a$ is greater than $b,$ then $e$ is less than $f$

ninguna de estas

none of these

Respuesta: E

Conceptos:deducción lógica contraejemplo

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Representa las comparaciones como proposiciones y distingue cada implicación de su recíproca

Represent the comparisons as propositions and distinguish each implication from its converse

Pista grande:

La hipótesis de la segunda premisa es incompatible con la conclusión de la primera, pero eso no permite encadenar las implicaciones

The second premise’s hypothesis is incompatible with the first premise’s conclusion, but that alone does not chain the implications

Solución:

Sean $P$ la afirmación $a>b,$ $Q$ la afirmación $c>d,$ $S$ la afirmación $c<d$ y $R$ la afirmación $e>f.$ Las premisas son $P\Rightarrow Q,\qquad S\Rightarrow R.$ Las afirmaciones $Q$ y $S$ son incompatibles. Las contrapositivas son $\neg Q\Rightarrow\neg P$ y $\neg R\Rightarrow\neg S.$ Ninguna de las cuatro implicaciones propuestas se deduce. Por ejemplo, $P$ da $Q$ y, por tanto, $\neg S,$ pero no determina $R;$ mientras que $\neg R$ solo da $\neg S,$ no $P.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $P$ mean $a>b,$ $Q$ mean $c>d,$ $S$ mean $c<d,$ and $R$ mean $e>f.$ The premises are $P\Rightarrow Q,\qquad S\Rightarrow R.$ The statements $Q$ and $S$ cannot both hold. The contrapositives are $\neg Q\Rightarrow\neg P$ and $\neg R\Rightarrow\neg S.$ None of the four proposed implications follows. For example, knowing $P$ gives $Q$ and hence $\neg S,$ but says nothing about $R;$ knowing $\neg R$ gives $\neg S,$ not $P.$

Therefore, the correct answer is E.

1958 AMC 12 Problema 44

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 44 en otros años