Question

En el círculo $O$ , la cuerda $\overline{AB}$ se prolonga de modo que $\overline{BC}$ sea igual a un radio del círculo. Se traza $\overline{CO}$ y se prolonga hasta $D.$ Se traza $\overline{AO}$ . ¿Cuál de las siguientes opciones expresa la relación entre los ángulos $x$ y $y$ ?

In circle $O$ chord $\overline{AB}$ is produced so that $\overline{BC}$ equals a radius of the circle. $\overline{CO}$ is drawn and extended to $D.$ $\overline{AO}$ is drawn. Which of the following expresses the relationship between angles $x$ and $y?$

$x=3y$

$x=2y$

$x=60^\circ$

no hay ninguna relación especial entre $x$ y $y$

there is no special relationship between $x$ and $y$

$x=2y$ o $x=3y,$ según la longitud de $\overline{AB}$

$x=2y$ or $x=3y,$ depending upon the length of $\overline{AB}$

Respuesta: A

Conceptos:isosceles triangles exterior angle circle geometry

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Como $OB=BC,$ el triángulo $OBC$ es isósceles

Since $OB=BC,$ triangle $OBC$ is isosceles

Pista grande:

Usa el ángulo exterior en $B$ y después $OA=OB$

Use the exterior angle at $B$ , then use $OA=OB$

Solución:

Como $OB=BC,$ el triángulo $OBC$ es isósceles, de modo que $\angle BOC=\angle BCO=y.$ Por tanto, su ángulo exterior en $B$ es $\angle ABO=2y.$ Como $OA=OB,$ el triángulo $AOB$ también es isósceles y $\angle OAB=2y.$ En el triángulo $AOC,$ los ángulos en $A$ y $C$ son $2y$ y $y,$ así que $\angle AOC=180^\circ-3y.$ El ángulo $x=\angle AOD$ es suplementario de $\angle AOC,$ y por ello $x=3y.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Because $OB=BC,$ triangle $OBC$ is isosceles, so $\angle BOC=\angle BCO=y.$ Its exterior angle at $B$ is therefore $\angle ABO=2y.$ Since $OA=OB,$ triangle $AOB$ is also isosceles and $\angle OAB=2y.$ In triangle $AOC,$ the angles at $A$ and $C$ are $2y$ and $y,$ so $\angle AOC=180^\circ-3y.$ Angle $x=\angle AOD$ is supplementary to $\angle AOC,$ hence $x=3y.$

Thus, the correct answer is A.

1955 AMC 12 Problema 44

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 44 en otros años