Question

Se dan una sucesión geométrica cuyo primer término es $\ne0$ y con $r\ne0$ , y una sucesión aritmética cuyo primer término es $=0.$ Se forma una tercera sucesión $1,$ $1,$ $2,$ $\ldots$ sumando los términos correspondientes de las dos sucesiones dadas. La suma de los primeros diez términos de la tercera sucesión es:

Given a geometric sequence with the first term $\ne0$ and $r\ne0$ and an arithmetic sequence with the first term $=0.$ A third sequence $1,$ $1,$ $2,$ $\ldots$ is formed by adding corresponding terms of the two given sequences. The sum of the first ten terms of the third sequence is:

$978$

$557$

$467$

$1068$

no puede determinarse con la información dada

not possible to determine from the information given

Respuesta: A

Conceptos:sucesión geométrica sucesión aritmética systems of equations

Nivel de dificultad: 1930

Pista pequeña:

Escribe las dos sucesiones como $a,ar,ar^2,\ldots$ y $0,d,2d,\ldots$

Write the two sequences as $a,ar,ar^2,\ldots$ and $0,d,2d,\ldots$

Pista grande:

Usa las tres primeras sumas y la condición $r\ne0$ para determinar $a,r,d$

Use the first three sums and the condition $r\ne0$ to determine $a,r,d$

Solución:

Las tres primeras sumas término a término dan $\begin{aligned} a&=1,\\ r+d&=1,\\ r^2+2d&=2. \end{aligned}$ Al sustituir $d=1-r$ se obtiene $r(r-2)=0.$ Como $r\ne0,$ tenemos $r=2$ y $d=-1.$ Los primeros diez términos geométricos suman $2^{10}-1=1023,$ mientras que los primeros diez términos aritméticos suman $0-1-\cdots-9=-45.$ Su suma combinada es $1023-45=978.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The first three termwise sums give $\begin{aligned} a&=1,\\ r+d&=1,\\ r^2+2d&=2. \end{aligned}$ Substituting $d=1-r$ yields $r(r-2)=0.$ Since $r\ne0,$ we have $r=2$ and $d=-1.$ The first ten geometric terms sum to $2^{10}-1=1023,$ while the first ten arithmetic terms sum to $0-1-\cdots-9=-45.$ Their combined sum is $1023-45=978.$

Thus, the correct answer is A.

1955 AMC 12 Problema 45

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1930

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 45 en otros años