Question

Si dos números reales $x$ y $y$ satisfacen la ecuación $\dfrac xy=x-y,$ entonces:

If two real numbers $x$ and $y$ satisfy the equation $\dfrac xy=x-y,$ then:

$x\ge4$ o $x\le0,$ donde $x\ge a$ significa que $x$ puede tomar cualquier valor mayor que $a$ o igual a $a$

$x\ge4$ or $x\le0,$ where $x\ge a$ means that $x$ can take any value greater than $a$ or equal to $a$

$y$ puede ser igual a $1$

$y$ can equal $1$

tanto $x$ como $y$ deben ser irracionales

both $x$ and $y$ must be irrational

$x$ y $y$ no pueden ser ambos enteros

$x$ and $y$ cannot both be integers

tanto $x$ como $y$ deben ser racionales

both $x$ and $y$ must be rational

Respuesta: A

Conceptos:ecuación racional cuadrática desigualdad

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Elimina el denominador y considera el resultado como una ecuación cuadrática en $y$

Clear the denominator and regard the result as a quadratic equation in $y$

Pista grande:

Para que $y$ sea real, el discriminante $x^2-4x$ debe ser no negativo

Real $y$ requires the discriminant $x^2-4x$ to be nonnegative

Solución:

Como $y\ne0,$ al multiplicar por $y$ se obtiene $x=xy-y^2,$ o $y^2-xy+x=0.$ Para que $y$ sea real, su discriminante debe satisfacer $x^2-4x=x(x-4)\ge0.$ Así, $x\le0$ o $x\ge4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Since $y\ne0,$ multiplying by $y$ gives $x=xy-y^2,$ or $y^2-xy+x=0.$ For a real value of $y,$ its discriminant must satisfy $x^2-4x=x(x-4)\ge0.$ Thus $x\le0$ or $x\ge4.$

Therefore, the correct answer is A.

1957 AMC 12 Problema 45

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 45 en otros años