Question

Dos cuerdas perpendiculares se cortan dentro de un círculo. Los segmentos de una cuerda miden $3$ y $4;$ los de la otra miden $6$ y $2.$ Entonces el diámetro del círculo es:

Two perpendicular chords intersect in a circle. The segments of one chord are $3$ and $4;$ the segments of the other are $6$ and $2.$ Then the diameter of the circle is:

$\sqrt{89}$

$\sqrt{56}$

$\sqrt{61}$

$\sqrt{75}$

$\sqrt{65}$

Respuesta: E

Conceptos:cuerda geometría analítica mediatriz

Nivel de dificultad: 1870

Pista pequeña:

Coloca la intersección de las cuerdas en el origen y las cuerdas perpendiculares sobre los ejes coordenados

Place the chord intersection at the origin and the perpendicular chords on the coordinate axes

Pista grande:

El centro del círculo está sobre las mediatrices de ambas cuerdas

The circle’s center lies on both chord perpendicular bisectors

Solución:

Colocamos la intersección en $(0,0)$ y los extremos en $(-3,0),$ $(4,0),$ $(0,-2),$ y $(0,6).$ Las mediatrices de las cuerdas son $x=\frac{1}{2}$ y $y=2,$ por lo que el centro es $(\frac{1}{2},2).$ Usando el extremo $(4,0),$ $\begin{aligned} r^2 &=\left(4-\frac12\right)^2+(0-2)^2\\ &=\frac{65}{4}. \end{aligned}$ Por lo tanto, el diámetro es $2r=\sqrt{65}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Place the intersection at $(0,0)$ with endpoints $(-3,0),$ $(4,0),$ $(0,-2),$ and $(0,6).$ The perpendicular bisectors of the chords are $x=\frac{1}{2}$ and $y=2,$ so the center is $(\frac{1}{2},2).$ Using the endpoint $(4,0),$ $\begin{aligned} r^2 &=\left(4-\frac12\right)^2+(0-2)^2\\ &=\frac{65}{4}. \end{aligned}$ Therefore the diameter is $2r=\sqrt{65}.$

Thus, the correct answer is E.

1957 AMC 12 Problema 46

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1870

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 46 en otros años