Question

Para que la ecuación $\dfrac{1+x}{1-x}=\dfrac{N+1}{N}$ sea cierta cuando $N$ es positivo, $x$ puede tomar:

For the equation $\dfrac{1+x}{1-x}=\dfrac{N+1}{N}$ to be true where $N$ is positive, $x$ can have:

cualquier valor positivo menor que $1$

any positive value less than $1$

cualquier valor menor que $1$

any value less than $1$

solo el valor cero

the value zero only

cualquier valor no negativo

any non-negative value

cualquier valor

any value

Respuesta: A

Conceptos:ecuación racional parameter range inequalities

Nivel de dificultad: 1810

Pista pequeña:

Multiplica en cruz y despeja $x$ en función de $N$

Cross-multiply and solve for $x$ in terms of $N$

Pista grande:

La ecuación se reduce a $x=\frac{1}{2N+1};$ despeja también $N$ de esta relación

The equation reduces to $x=\frac{1}{2N+1};$ also solve this relation for $N$

Solución:

Al multiplicar en cruz se obtiene $N(1+x)=(N+1)(1-x),$ así que $x(2N+1)=1$ y $x=\frac1{2N+1}.$ Todo $N$ positivo produce $0\lt x\lt1.$ Recíprocamente, para cualquier $0\lt x\lt1,$ $N=\frac{1-x}{2x}>0,$ por lo que existe tal $N.$

Por tanto, $x$ puede ser cualquier valor positivo menor que $1,$ y la respuesta correcta es A.

Cross-multiplication gives $N(1+x)=(N+1)(1-x),$ so $x(2N+1)=1$ and $x=\frac1{2N+1}.$ Every positive $N$ gives $0\lt x\lt1.$ Conversely, for any $0\lt x\lt1,$ $N=\frac{1-x}{2x}>0,$ so such an $N$ exists.

Thus, $x$ may be any positive value less than $1,$ and the correct answer is A.

1956 AMC 12 Problema 46

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1810

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 46 en otros años