Question

Para valores de $x$ menores que $1$ pero mayores que $-4,$ la expresión

$\frac{x^2-2x+2}{2x-2}$

tiene:

For values of $x$ less than $1$ but greater than $-4,$ the expression

$\frac{x^2-2x+2}{2x-2}$

has:

ningún máximo ni mínimo

no maximum or minimum value

mínimo $1$

a minimum value of $1$

máximo $1$

a maximum value of $1$

mínimo $-1$

a minimum value of $-1$

máximo $-1$

a maximum value of $-1$

Respuesta: E

Conceptos:Desigualdad MA-MG desigualdad optimización

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Toma $t=x-1,$ que es negativo en el intervalo dado

Set $t=x-1,$ which is negative on the given interval

Pista grande:

Reescribe como $\tfrac12(t+\frac{1}{t})$ y usa la desigualdad para $t$ negativo

Rewrite the expression as $\tfrac12(t+\frac{1}{t})$ and use the negative- $t$ form of AM-GM

Solución:

Sea $t=x-1.$ Entonces $-5\lt t\lt0,$ y la expresión se vuelve $\frac{t^2+1}{2t} =\frac12\left(t+\frac1t\right).$ Para $t\lt0,$ $t+\frac{1}{t}\le-2,$ con igualdad en $t=-1.$ Este valor corresponde a $x=0.$ Así, la expresión es como máximo $-1,$ y su máximo es $-1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Set $t=x-1.$ Then $-5\lt t\lt0,$ and the expression becomes $\frac{t^2+1}{2t} =\frac12\left(t+\frac1t\right).$ For $t\lt0,$ $t+\frac{1}{t}\le-2,$ with equality when $t=-1.$ That value is allowed and corresponds to $x=0.$ Hence the expression is at most $-1,$ and its maximum is $-1.$

Thus, the correct answer is E.

1958 AMC 12 Problema 46

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 46 en otros años