Question

En el diagrama, si los puntos $A,$ $B,$ y $C$ son puntos de tangencia, entonces $x$ es igual a:

In the diagram, if points $A,$ $B,$ and $C$ are points of tangency, then $x$ equals:

$\dfrac3{16}\text{ pulgadas}$

$\dfrac3{16}\text{ in.}$

$\dfrac18\text{ pulgadas}$

$\dfrac18\text{ in.}$

$\dfrac1{32}\text{ pulgadas}$

$\dfrac1{32}\text{ in.}$

$\dfrac3{32}\text{ pulgadas}$

$\dfrac3{32}\text{ in.}$

$\dfrac1{16}\text{ pulgadas}$

$\dfrac1{16}\text{ in.}$

Respuesta: E

Conceptos:circunferencias tangentes bisectriz triángulo rectángulo especial

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

La medida marcada de $\frac{3}{8}$ de pulgada es el diámetro del círculo

The marked $\frac{3}{8}$ -inch measure is the circle’s diameter

Pista grande:

Con radio $\frac{3}{16},$ el centro está $\frac{3}{8}$ de pulgada por encima del vértice de $60^\circ$ , porque $\sin30^\circ=\frac{1}{2}$

With radius $\frac{3}{16},$ the center is $\frac{3}{8}$ inch above the $60^\circ$ vertex because $\sin30^\circ=\frac{1}{2}$

Solución:

El radio mide $\frac{3}{16}$ de pulgada. El centro está sobre la bisectriz. El radio perpendicular a cualquiera de los lados inclinados y el segmento del vértice al centro forman un triángulo rectángulo con un ángulo de $30^\circ$ , por lo que el centro está $\frac{\frac{3}{16}}{\sin30^\circ}=\frac38$ de pulgada por encima del vértice. Así, la tangente superior está $\frac{3}{8}+\frac{3}{16}=\frac{9}{16}$ de pulgada por encima del vértice. Como la recta horizontal inferior está $\frac{1}{2}$ pulgada por encima del vértice, $x=\frac9{16}-\frac12=\frac1{16}\text{ pulgadas}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The radius is $\frac{3}{16}$ inch. The center lies on the angle bisector. The perpendicular radius to either sloping side and the segment from the vertex to the center form a right triangle with a $30^\circ$ angle, so the center is $\frac{\frac{3}{16}}{\sin30^\circ}=\frac38$ inch above the vertex. Hence the top tangent is $\frac{3}{8}+\frac{3}{16}=\frac{9}{16}$ inch above the vertex. Since the ledge is $\frac{1}{2}$ inch above the vertex, $x=\frac9{16}-\frac12=\frac1{16}\text{ in.}$

Thus, the correct answer is E.

1954 AMC 12 Problema 46

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 46 en otros años