Question

En el punto medio del segmento $\overline{AB}$ , que mide $p$ unidades, se levanta una perpendicular $\overline{MR}$ de longitud $q$ unidades. Con centro en $R$ se traza un arco de radio igual a $\dfrac12\overline{AB},$ que corta $\overline{AB}$ en $T.$ Entonces $\overline{AT}$ y $\overline{TB}$ son las raíces de:

At the midpoint of line segment $\overline{AB}$ which is $p$ units long, a perpendicular $\overline{MR}$ is erected with length $q$ units. An arc is described from $R$ with a radius equal to $\dfrac12\overline{AB},$ meeting $\overline{AB}$ at $T.$ Then $\overline{AT}$ and $\overline{TB}$ are the roots of:

$x^2+px+q^2=0$

$x^2-px+q^2=0$

$x^2+px-q^2=0$

$x^2-px-q^2=0$

$x^2-px+q=0$

Respuesta: B

Conceptos:Teorema de Pitágoras Fórmulas de Vieta círculo

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

La suma $\overline{AT}+\overline{TB}$ es $p$

The sum $\overline{AT}+\overline{TB}$ is $p$

Pista grande:

Usa $RT=\frac{p}{2}=AM$ en el triángulo rectángulo $RMT$ para demostrar que $\overline{AT}\cdot\overline{TB}=q^2$

Use $RT=\frac{p}{2}=AM$ in right triangle $RMT$ to show $\overline{AT}\cdot\overline{TB}=q^2$

Solución:

Sea $MT=t.$ Como $AM=BM=RT=\frac{p}{2},$ el teorema de Pitágoras da $t^2+q^2=\frac{p^2}{4}.$ Además, $AT=\frac p2+t,\qquad TB=\frac p2-t.$ Su suma es $p,$ y su producto es $\frac{p^2}{4}-t^2=q^2.$ Por lo tanto, son las raíces de $x^2-px+q^2=0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $MT=t.$ Since $AM=BM=RT=\frac{p}{2},$ the Pythagorean theorem gives $t^2+q^2=\frac{p^2}{4}.$ Also, $AT=\frac p2+t,\qquad TB=\frac p2-t.$ Their sum is $p,$ and their product is $\frac{p^2}{4}-t^2=q^2.$ Therefore they are the roots of $x^2-px+q^2=0.$

Thus, the correct answer is B.

1954 AMC 12 Problema 47

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 47 en otros años