Question

$ABCD$ es un rectángulo y $P$ es cualquier punto de $\overline{AB}.$ Se tiene $PS\perp BD,$ $PR\perp AC,$ $AF\perp BD$ y $PQ\perp AF.$ Entonces $PR+PS$ es igual a:

$ABCD$ is a rectangle (see the accompanying diagram) with $P$ any point on $\overline{AB}.$ $PS\perp BD$ and $PR\perp AC.$ $AF\perp BD$ and $PQ\perp AF.$ Then $PR+PS$ is equal to:

$PQ$

$AE$

$PT+AT$

$AF$

$EF$

Respuesta: D

Conceptos:rectángulo rectas paralelas semejanza

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

Como $PQ\parallel BD$ y $PS\parallel AF,$ identifica el pequeño paralelogramo junto a $F$ y $S$

Because $PQ\parallel BD$ and $PS\parallel AF,$ identify the small parallelogram near $F$ and $S$

Pista grande:

Usa $T=PQ\cap AC$ para comparar los triángulos rectángulos $PTR$ y $ATQ$

Use the intersection $T=PQ\cap AC$ to compare the right triangles $PTR$ and $ATQ$

Solución:

Como $AF\perp BD$ y $PQ\perp AF,$ $PQ\parallel BD.$ Además, $PS\perp BD,$ de modo que $PS\parallel AF.$ Así, $QPSF$ es un rectángulo y $PS=QF.$ Sea $T=PQ\cap AC.$ Las diagonales de un rectángulo forman ángulos iguales con $AB,$ por lo que $\angle PAT=\angle APT$ y $AT=PT.$ Los triángulos rectángulos $ATQ$ y $PTR$ son semejantes por el ángulo en $T.$ Como sus hipotenusas $AT$ y $PT$ son iguales, $AQ=PR.$ Por tanto, $PR+PS=AQ+QF=AF.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $AF\perp BD$ and $PQ\perp AF,$ we have $PQ\parallel BD.$ Also $PS\perp BD,$ so $PS\parallel AF.$ Thus quadrilateral $QPSF$ is a rectangle, and $PS=QF.$ Let $T=PQ\cap AC.$ The diagonals of a rectangle make equal angles with side $AB,$ so $\angle PAT=\angle APT,$ giving $AT=PT.$ The right triangles $ATQ$ and $PTR$ are similar because they share the angle at $T.$ Since their hypotenuses $AT$ and $PT$ are equal, $AQ=PR.$ Therefore $PR+PS=AQ+QF=AF.$

Thus, the correct answer is D.

1958 AMC 12 Problema 47

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 47 en otros años