Question

Si $x$ es mayor que cero, entonces la relación correcta es:

If $x$ is greater than zero, then the correct relationship is:

$\log(1+x)=\dfrac{x}{1+x}$

$\log(1+x)\lt\dfrac{x}{1+x}$

$\log(1+x)\gt x$

$\log(1+x)\lt x$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: D

Conceptos:logarithmic inequality exponential function

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Compara $1+x$ con una función exponencial para $x\gt0$

Compare $1+x$ with an exponential function for $x\gt0$

Pista grande:

La desigualdad estándar $\ln(1+x)\lt x$ es aún más fuerte para los logaritmos comunes

The standard inequality $\ln(1+x)\lt x$ is even stronger for common logarithms

Solución:

Para $x\gt0,$ la desigualdad exponencial estándar da $1+x\lt e^x.$ Al tomar logaritmos naturales se obtiene $\ln(1+x)\lt x.$ Si $\log$ denota el logaritmo común, entonces $\begin{aligned} \log(1+x)&=\frac{\ln(1+x)}{\ln10}\\ &\lt\ln(1+x), \end{aligned}$ por lo que también se cumple la desigualdad indicada.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For $x\gt0,$ the standard exponential inequality gives $1+x\lt e^x.$ Taking natural logarithms yields $\ln(1+x)\lt x.$ If $\log$ denotes the common logarithm, then $\begin{aligned} \log(1+x)&=\frac{\ln(1+x)}{\ln10}\\ &\lt\ln(1+x), \end{aligned}$ so the same listed inequality holds.

Thus, the correct answer is D.

1953 AMC 12 Problema 47

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 47 en otros años