Question

Un rectángulo inscrito en un triángulo tiene su base coincidente con la base $b$ del triángulo. Si la altura del triángulo es $h,$ y la altura $x$ del rectángulo es la mitad de la base del rectángulo, entonces:

A rectangle inscribed in a triangle has its base coinciding with the base $b$ of the triangle. If the altitude of the triangle is $h,$ and the altitude $x$ of the rectangle is half the base of the rectangle, then:

$x=\dfrac12h$

$x=\dfrac{bh}{b+h}$

$x=\dfrac{bh}{2h+b}$

$x=\sqrt{\dfrac{hb}{2}}$

$x=\dfrac12b$

Respuesta: C

Conceptos:semejanza rectángulo altura

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

El segmento transversal del triángulo a la altura $x$ tiene longitud $b(1-\frac{x}{h})$

The segment across the triangle at height $x$ has length $b(1-\frac{x}{h})$

Pista grande:

La base del rectángulo es $2x$

The rectangle’s base is $2x$

Solución:

Por semejanza, el ancho del triángulo a la altura $x$ sobre su base es $b(1-\tfrac{x}{h}).$ Esta es la base del rectángulo inscrito. Como la altura del rectángulo es la mitad de su base, su base es $2x.$ Por ello, $2x=b\left(1-\frac{x}{h}\right).$ Al multiplicar por $h$ y resolver se obtiene $x(2h+b)=bh,$ de modo que $x=\dfrac{bh}{2h+b}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

By similarity, the width of the triangle at height $x$ above its base is $b(1-\tfrac{x}{h}).$ This is the base of the inscribed rectangle. Since the rectangle’s altitude is half its base, its base is $2x.$ Hence $2x=b\left(1-\frac{x}{h}\right).$ Multiplying by $h$ and solving gives $x(2h+b)=bh,$ so $x=\dfrac{bh}{2h+b}.$

Thus, the correct answer is C.

1950 AMC 12 Problema 47

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 47 en otros años