Soluciones del 1950 AMC 12 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Si $64$ se divide en tres partes proporcionales a $2,$ $4,$ y $6,$ la parte menor es:

If $64$ is divided into three parts proportional to $2,$ $4,$ and $6,$ the smallest part is:

$5\dfrac{1}{3}$

$11$

$10\dfrac{2}{3}$

$5$

Ninguna de estas respuestas

None of these answers

Conceptos:razón y proporción fracción

Nivel de dificultad: 840

Pista pequeña:

Suma los tres números de la razón para hallar el número total de partes iguales

Add the three numbers in the ratio to find the total number of equal shares

Pista grande:

La parte menor es $\dfrac{2}{2+4+6}$ de $64$

The smallest part is $\dfrac{2}{2+4+6}$ of $64$

Solución:

La razón contiene $2+4+6=12$ partes iguales. Por lo tanto, la parte menor es $64\left(\frac{2}{12}\right)=\frac{32}{3}=10\frac{2}{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The ratio contains $2+4+6=12$ equal shares. The smallest part is therefore $64\left(\frac{2}{12}\right)=\frac{32}{3}=10\frac{2}{3}.$

Thus, the correct answer is C.

2.

Sea $R=gS-4.$ Cuando $S=8,$ se tiene $R=16.$ Cuando $S=10,$ $R$ es igual a:

Let $R=gS-4.$ When $S=8,$ $R=16.$ When $S=10,$ $R$ is equal to:

$11$

$14$

$20$

$21$

Ninguna de estas respuestas

None of these answers

Conceptos:ecuación lineal sustitución

Nivel de dificultad: 870

Pista pequeña:

Sustituye primero los valores dados de $R$ y $S$ para determinar $g$

First substitute the given values of $R$ and $S$ to determine $g$

Pista grande:

El primer par de valores da $16=8g-4$

The first pair gives $16=8g-4$

Solución:

Al sustituir $S=8$ y $R=16$ se obtiene $16=8g-4,$ de modo que $g=\tfrac52.$ Por consiguiente, cuando $S=10,$ $R=\frac52(10)-4=21.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Substituting $S=8$ and $R=16$ gives $16=8g-4,$ so $g=\tfrac52.$ Hence, when $S=10,$ $R=\frac52(10)-4=21.$

Thus, the correct answer is D.

3.

La suma de las raíces de la ecuación $4x^2+5-8x=0$ es igual a:

The sum of the roots of the equation $4x^2+5-8x=0$ is equal to:

$8$

$-5$

$-\dfrac54$

$-2$

Ninguna de estas respuestas

None of these answers

Conceptos:Fórmulas de Vieta cuadrática

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Reescribe la ecuación en potencias descendentes de $x$

Rewrite the equation in descending powers of $x$

Pista grande:

Para $ax^2+bx+c=0,$ la suma de las raíces es $-\frac{b}{a}$

For $ax^2+bx+c=0,$ the sum of the roots is $-\frac{b}{a}$

Solución:

En forma estándar, la ecuación es $4x^2-8x+5=0.$ Por las fórmulas de Vieta, la suma de sus raíces es $-\frac{-8}{4}=2.$ Este valor no aparece entre las opciones A a D.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

In standard form the equation is $4x^2-8x+5=0.$ By Vieta’s formulas, the sum of its roots is $-\frac{-8}{4}=2.$ This value is not among choices A through D.

Thus, the correct answer is E.

4.

Reducida a su mínima expresión, $\frac{a^2-b^2}{ab}-\frac{ab-b^2}{ab-a^2}$ es igual a:

Reduced to lowest terms, $\frac{a^2-b^2}{ab}-\frac{ab-b^2}{ab-a^2}$ is equal to:

$\dfrac{a}{b}$

$\dfrac{a^2-2b^2}{ab}$

$a^2$

$a-2b$

Ninguna de estas respuestas

None of these answers

Conceptos:manipulación algebraica diferencia de cuadrados

Nivel de dificultad: 1600

Pista pequeña:

Factoriza $a^2-b^2,$ $ab-b^2,$ y $ab-a^2$

Factor $a^2-b^2,$ $ab-b^2,$ and $ab-a^2$

Pista grande:

La segunda fracción se simplifica a $-\frac{b}{a}$

The second fraction simplifies to $-\frac{b}{a}$

Solución:

Al factorizar los numeradores y el denominador se obtiene $\begin{aligned} &\frac{a^2-b^2}{ab} -\frac{ab-b^2}{ab-a^2}\\ &=\left(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right)\\ &\quad-\frac{b(a-b)}{a(b-a)}\\ &=\frac{a}{b}-\frac{b}{a} +\frac{b}{a}\\ &=\frac{a}{b}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Factoring the numerators and denominator gives $\begin{aligned} &\frac{a^2-b^2}{ab} -\frac{ab-b^2}{ab-a^2}\\ &=\left(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right)\\ &\quad-\frac{b(a-b)}{a(b-a)}\\ &=\frac{a}{b}-\frac{b}{a} +\frac{b}{a}\\ &=\frac{a}{b}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is A.

5.

Si se insertan cinco medias geométricas entre $8$ y $5832,$ el quinto término de la sucesión geométrica es:

If five geometric means are inserted between $8$ and $5832,$ the fifth term in the geometric series is:

$648$

$832$

$1168$

$1944$

Ninguna de estas respuestas

None of these answers

Conceptos:sucesión geométrica exponente

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Al insertar cinco medias, los números dados pasan a ser el primer y el séptimo término

Inserting five means makes the given numbers the first and seventh terms

Pista grande:

Si la razón común es $q,$ entonces $8q^6=5832$

If the common ratio is $q,$ then $8q^6=5832$

Solución:

Hay seis pasos de razón común desde el primer término $8$ hasta el séptimo término $5832.$ Por lo tanto, $q^6=\frac{5832}{8}=729=3^6,$ así que la razón común positiva es $q=3.$ El quinto término es $8q^4=8\cdot3^4=648.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

There are six common-ratio steps from the first term $8$ to the seventh term $5832.$ Thus $q^6=\frac{5832}{8}=729=3^6,$ so the positive common ratio is $q=3.$ The fifth term is $8q^4=8\cdot3^4=648.$

Thus, the correct answer is A.

6.

Los valores de $y$ que satisfacen las ecuaciones

$\begin{aligned} 2x^2+6x+5y+1&=0,\\ 2x+y+3&=0 \end{aligned}$

pueden hallarse resolviendo:

The values of $y$ which will satisfy the equations

$\begin{aligned} 2x^2+6x+5y+1&=0,\\ 2x+y+3&=0 \end{aligned}$

may be found by solving:

$y^2+14y-7=0$

$y^2+8y+1=0$

$y^2+10y-7=0$

$y^2+y-12=0$

Ninguna de las ecuaciones anteriores

None of the above equations

Conceptos:sistema de ecuaciones sustitución cuadrática

Nivel de dificultad: 1640

Pista pequeña:

Despeja $x$ en función de $y$ en la ecuación lineal

Solve the linear equation for $x$ in terms of $y$

Pista grande:

Sustituye $x=-\frac{(y+3)}{2}$ en la primera ecuación y elimina el denominador

Substitute $x=-\frac{(y+3)}{2}$ into the first equation and clear the denominator

Solución:

De la segunda ecuación, $x=-\tfrac{y+3}{2}.$ Al sustituir en la primera ecuación y multiplicar por $2$ se obtiene $\begin{aligned} &(y+3)^2-6(y+3)\\ &\quad+10y+2=0,\\ &y^2+10y-7=0. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

From the second equation, $x=-\tfrac{y+3}{2}.$ Substituting into the first equation and multiplying by $2$ gives $\begin{aligned} &(y+3)^2-6(y+3)\\ &\quad+10y+2=0,\\ &y^2+10y-7=0. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

7.

Si se coloca el dígito $1$ después de un número de dos cifras cuya cifra de las decenas es $t,$ y cuya cifra de las unidades es $u,$ el nuevo número es:

If the digit $1$ is placed after a two digit number whose tens’ digit is $t,$ and units’ digit is $u,$ the new number is:

$10t+u+1$

$100t+10u+1$

$1000t+10u+1$

$t+u+1$

Ninguna de estas respuestas

None of these answers

Conceptos:valor posicional dígitos

Nivel de dificultad: 770

Pista pequeña:

El número original de dos cifras es $10t+u$

The original two digit number is $10t+u$

Pista grande:

Añadir una cifra al final multiplica primero el número original por $10$ y luego suma esa cifra

Appending a digit multiplies the original number by $10$ before adding that digit

Solución:

El número de dos cifras es $10t+u.$ Al colocar $1$ después de él se obtiene $\begin{aligned} &10(10t+u)+1\\ &=100t+10u+1. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The two digit number is $10t+u.$ Placing $1$ after it produces $\begin{aligned} &10(10t+u)+1\\ &=100t+10u+1. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.

8.

Si el radio de un círculo aumenta $100\%,$ el área aumenta:

If the radius of a circle is increased $100\%,$ the area is increased:

$100\%$

$200\%$

$300\%$

$400\%$

En ninguna de estas cantidades

By none of these

Conceptos:área del círculo porcentaje escalamiento de potencias de longitud, área y volumen

Nivel de dificultad: 1220

Pista pequeña:

Un aumento de $100\%$ duplica el radio

An increase of $100\%$ doubles the radius

Pista grande:

El área de un círculo es proporcional al cuadrado del radio

Circle area is proportional to the square of the radius

Solución:

Al aumentar $r$ en $100\%,$ se convierte en $2r.$ El área cambia de $\pi r^2$ a $\pi(2r)^2=4\pi r^2,$ un aumento de $3\pi r^2.$ Esto es el $300\%$ del área original.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Increasing $r$ by $100\%$ changes it to $2r.$ The area changes from $\pi r^2$ to $\pi(2r)^2=4\pi r^2,$ an increase of $3\pi r^2.$ This is $300\%$ of the original area.

Thus, the correct answer is C.

9.

El área del triángulo más grande que puede inscribirse en un semicírculo de radio $r$ es:

The area of the largest triangle that can be inscribed in a semicircle whose radius is $r$ is:

$r^2$

$r^3$

$2r^2$

$2r^3$

$\dfrac12r^2$

Conceptos:área del triángulo círculo optimización

Nivel de dificultad: 1600

Pista pequeña:

La base más larga posible es el diámetro del semicírculo

The longest possible base is the diameter of the semicircle

Pista grande:

Con el diámetro como base, la mayor altura posible es el radio

With the diameter as base, the greatest possible altitude is the radius

Solución:

Un triángulo en el semicírculo tiene una base no mayor que el diámetro $2r$ y una altura no mayor que $r.$ Por lo tanto, su área es como máximo $\frac12(2r)(r)=r^2.$ Este máximo se alcanza al usar el diámetro como base y el punto más alto del semicírculo como tercer vértice.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

A triangle in the semicircle has base at most the diameter $2r$ and altitude at most $r.$ Therefore its area is at most $\frac12(2r)(r)=r^2.$ This bound is attained by using the diameter as the base and the topmost point of the semicircle as the third vertex.

Thus, the correct answer is A.

10.

Después de racionalizar el numerador de $\dfrac{\sqrt3-\sqrt2}{\sqrt3},$ el denominador en su forma más simple es:

After rationalizing the numerator of $\dfrac{\sqrt3-\sqrt2}{\sqrt3},$ the denominator in simplest form is:

$\sqrt3(\sqrt3+\sqrt2)$

$\sqrt3(\sqrt3-\sqrt2)$

$3-\sqrt3\sqrt2$

$3+\sqrt6$

Ninguna de estas respuestas

None of these answers

Conceptos:racionalización del denominador radical

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del numerador

Multiply the numerator and denominator by the conjugate of the numerator

Pista grande:

El numerador se convierte en $(\sqrt3-\sqrt2)(\sqrt3+\sqrt2)=1$

The numerator becomes $(\sqrt3-\sqrt2)(\sqrt3+\sqrt2)=1$

Solución:

Al multiplicar por el conjugado del numerador se obtiene $\begin{aligned} &\frac{\sqrt3-\sqrt2}{\sqrt3} \cdot\frac{\sqrt3+\sqrt2}{\sqrt3+\sqrt2}\\ &=\frac{1}{\sqrt3(\sqrt3+\sqrt2)}\\ &=\frac{1}{3+\sqrt6}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Multiplying by the conjugate of the numerator gives $\begin{aligned} &\frac{\sqrt3-\sqrt2}{\sqrt3} \cdot\frac{\sqrt3+\sqrt2}{\sqrt3+\sqrt2}\\ &=\frac{1}{\sqrt3(\sqrt3+\sqrt2)}\\ &=\frac{1}{3+\sqrt6}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is D.

11.

Si en la fórmula $C=\dfrac{en}{R+nr},$ se aumenta $n$ mientras $e,$ $R,$ y $r$ permanecen constantes, entonces $C:$

If in the formula $C=\dfrac{en}{R+nr},$ $n$ is increased while $e,$ $R,$ and $r$ are kept constant, then $C:$

Disminuye

Decreases

Aumenta

Increases

Permanece constante

Remains constant

Aumenta y luego disminuye

Increases and then decreases

Disminuye y luego aumenta

Decreases and then increases

Conceptos:función manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

Divide el numerador y el denominador entre $n$

Divide the numerator and denominator by $n$

Pista grande:

Cuando el valor positivo $n$ aumenta, $\frac{R}{n}$ disminuye

As positive $n$ grows, $\frac{R}{n}$ decreases

Solución:

Reescribe la fórmula como $C=\frac{e}{\frac{R}{n}+r}.$ Cuando el valor positivo $n$ aumenta, $\frac{R}{n}$ disminuye, por lo que el denominador positivo disminuye mientras el numerador permanece fijo. Por consiguiente, $C$ aumenta.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Rewrite the formula as $C=\frac{e}{\frac{R}{n}+r}.$ As positive $n$ increases, $\frac{R}{n}$ decreases, so the positive denominator decreases while the numerator remains fixed. Therefore $C$ increases.

Thus, the correct answer is B.

12.

A medida que el número de lados de un polígono aumenta de $3$ a $n,$ la suma de los ángulos exteriores formados al prolongar sucesivamente cada lado:

As the number of sides of a polygon increases from $3$ to $n,$ the sum of the exterior angles formed by extending each side in succession:

Aumenta

Increases

Disminuye

Decreases

Permanece constante

Remains constant

No puede predecirse

Cannot be predicted

Se convierte en $(n-3)$ ángulos llanos

Becomes $(n-3)$ straight angles

Conceptos:suma de ángulos

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Imagina recorrer una vez todo el contorno del polígono

Imagine walking once around the boundary of the polygon

Pista grande:

Los ángulos exteriores representan una vuelta completa

The exterior angles record one complete turn

Solución:

Al recorrer el polígono y girar en cada ángulo exterior se completa una vuelta. Por ello, la suma siempre es $360^\circ,$ independientemente del número de lados.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Traversing the polygon and turning through each exterior angle makes one complete turn. Hence the sum is always $360^\circ,$ independent of the number of sides.

Thus, the correct answer is C.

13.

Las raíces de $(x^2-3x+2)(x)(x-4)=0$ son:

The roots of $(x^2-3x+2)(x)(x-4)=0$ are:

$4$

$0$ y $4$

$0$ and $4$

$1$ y $2$

$1$ and $2$

$0,$ $1,$ $2,$ y $4$

$0,$ $1,$ $2,$ and $4$

$1,$ $2,$ y $4$

$1,$ $2,$ and $4$

Conceptos:factorización propiedad del producto nulo cuadrática

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

Factoriza el factor cuadrático

Factor the quadratic factor

Pista grande:

Un producto es cero cuando al menos uno de sus factores es cero

A product is zero when at least one of its factors is zero

Solución:

Como $x^2-3x+2=(x-1)(x-2),$ la ecuación se convierte en $(x-1)(x-2)x(x-4)=0.$ Sus raíces son $0,$ $1,$ $2,$ y $4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $x^2-3x+2=(x-1)(x-2),$ the equation becomes $(x-1)(x-2)x(x-4)=0.$ Its roots are $0,$ $1,$ $2,$ and $4.$

Thus, the correct answer is D.

14.

Para el sistema de ecuaciones

$\begin{aligned} 2x-3y&=8,\\ 6y-4x&=9, \end{aligned}$

For the simultaneous equations

$\begin{aligned} 2x-3y&=8,\\ 6y-4x&=9, \end{aligned}$

$x=4,$ $y=0$

$x=0,$ $y=\dfrac32$

$x=0,$ $y=0$

No hay solución

There is no solution

Hay infinitas soluciones

There are an infinite number of solutions

Conceptos:sistema de ecuaciones ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1510

Pista pequeña:

Compara el lado izquierdo de la segunda ecuación con el de la primera

Compare the left side of the second equation with the left side of the first

Pista grande:

Multiplicar la primera ecuación por $-2$ exigiría que el segundo lado derecho fuera $-16$

Multiplying the first equation by $-2$ would require the second right side to be $-16$

Solución:

El lado izquierdo de la segunda ecuación es $-2(2x-3y).$ Si la primera ecuación se cumple, esa expresión debe ser igual a $-2\cdot8=-16,$ pero la segunda ecuación afirma que es igual a $9.$ Esta contradicción significa que ningún par ordenado satisface ambas ecuaciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The left side of the second equation is $-2(2x-3y).$ If the first equation holds, that expression must equal $-2\cdot8=-16,$ but the second equation says it equals $9.$ This contradiction means that no ordered pair satisfies both equations.

Thus, the correct answer is D.

15.

Los factores reales de $x^2+4$ son:

The real factors of $x^2+4$ are:

$(x^2+2)(x^2+2)$

$(x^2+2)(x^2-2)$

$x^2(x^2+4)$

$(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)$

No existen

Non-existent

Conceptos:factorización número complejo cuadrática

Nivel de dificultad: 1400

Pista pequeña:

Un factor lineal real correspondería a una raíz real

A real linear factor would correspond to a real root

Pista grande:

Resolver $x^2+4=0$ exige que $x^2=-4$

Solving $x^2+4=0$ requires $x^2=-4$

Solución:

Un factor lineal real produciría una raíz real. Pero $x^2+4=0$ implica $x^2=-4,$ que no tiene solución real. Por consiguiente, el polinomio no tiene factores lineales reales.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

A real linear factor would give a real root. But $x^2+4=0$ implies $x^2=-4,$ which has no real solution. Therefore the polynomial has no real linear factors.

Thus, the correct answer is E.

16.

El número de términos de la expansión simplificada de $\big[(a+3b)^2(a-3b)^2\big]^2$ es:

The number of terms in the expansion of $\big[(a+3b)^2(a-3b)^2\big]^2$ when simplified is:

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

Conceptos:diferencia de cuadrados teorema del binomio

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

Combina $a+3b$ y $a-3b$ antes de desarrollar

Combine $a+3b$ and $a-3b$ before expanding

Pista grande:

La expresión se simplifica a $(a^2-9b^2)^4$

The expression simplifies to $(a^2-9b^2)^4$

Solución:

Usando la diferencia de cuadrados, $\begin{aligned} &\big[(a+3b)^2(a-3b)^2\big]^2\\ &=\big[(a^2-9b^2)^2\big]^2\\ &=(a^2-9b^2)^4. \end{aligned}$ Su expansión binomial tiene un término no nulo para cada elección del exponente $0,1,2,3,4,$ por lo que tiene cinco términos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Using the difference of squares, $\begin{aligned} &\big[(a+3b)^2(a-3b)^2\big]^2\\ &=\big[(a^2-9b^2)^2\big]^2\\ &=(a^2-9b^2)^4. \end{aligned}$ Its binomial expansion has one nonzero term for each exponent choice $0,1,2,3,4,$ so it has five terms.

Thus, the correct answer is B.

17.

La fórmula que expresa la relación entre $x$ y $y$ mostrada en la tabla es:

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x&0&1&2&3&4\\ \hline y&100&90&70&40&0\\ \hline \end{array}$

The formula which expresses the relationship between $x$ and $y$ as shown in the accompanying table is:

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x&0&1&2&3&4\\ \hline y&100&90&70&40&0\\ \hline \end{array}$

$y=100-10x$

$y=100-5x^2$

$y=100-5x-5x^2$

$y=20-x-x^2$

Ninguna de estas

None of these

Conceptos:función sustitución cuadrática

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Sustituye en cada fórmula propuesta un valor pequeño y no nulo de la tabla, como $x=1$

Substitute a small nonzero table value such as $x=1$ into each proposed formula

Pista grande:

Luego verifica la fórmula restante con $x=2$ o $x=3$

Then verify the surviving formula with $x=2$ or $x=3$

Solución:

Para $x=1,$ las opciones A y C dan $90,$ mientras que B da $95$ y D da $18.$ Al probar las dos opciones restantes con $x=2,$ la opción A da $80,$ mientras que la opción C da $100-5(2)-5(2^2)=70,$ que coincide con la tabla.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

At $x=1,$ choices A and C both give $90,$ while B gives $95$ and D gives $18.$ Testing the two survivors at $x=2,$ choice A gives $80,$ whereas choice C gives $100-5(2)-5(2^2)=70,$ matching the table.

Thus, the correct answer is C.

18.

De las siguientes igualdades

$(1)\quad a(x-y)=ax-ay$

$(2)\quad a^{x-y}=a^x-a^y$

$(3)\quad \log(x-y)=\log x-\log y$

$(4)\quad \dfrac{\log x}{\log y}=\log x-\log y$

$(5)\quad a(xy)=ax\times ay$

Of the following

$(1)\quad a(x-y)=ax-ay$

$(2)\quad a^{x-y}=a^x-a^y$

$(3)\quad \log(x-y)=\log x-\log y$

$(4)\quad \dfrac{\log x}{\log y}=\log x-\log y$

$(5)\quad a(xy)=ax\times ay$

Solo $1$ y $4$ son verdaderas

Only $1$ and $4$ are true

Solo $1$ y $5$ son verdaderas

Only $1$ and $5$ are true

Solo $1$ y $3$ son verdaderas

Only $1$ and $3$ are true

Solo $1$ y $2$ son verdaderas

Only $1$ and $2$ are true

Solo $1$ es verdadera

Only $1$ is true

Conceptos:propiedad distributiva exponente logaritmo

Nivel de dificultad: 1470

Pista pequeña:

Compara cada igualdad con las reglas usuales de los exponentes y los logaritmos

Compare each statement with the standard rules for exponents and logarithms

Pista grande:

En particular, una resta dentro de un exponente o logaritmo no se distribuye como está escrito

In particular, subtraction inside an exponent or logarithm does not distribute as written

Solución:

La igualdad $1$ es la propiedad distributiva. La igualdad $2$ es falsa porque $a^{x-y}=\frac{a^x}{a^y}.$ La igualdad $3$ es falsa porque $\log x-\log y=\log(\frac{x}{y}).$ La igualdad $4$ confunde el cociente de cambio de base con una diferencia, y el lado derecho de la igualdad $5$ es $a^2xy,$ no $axy.$

Por lo tanto, solo la igualdad $1$ es verdadera, así que la respuesta correcta es E.

Statement $1$ is the distributive property. Statement $2$ is false because $a^{x-y}=\frac{a^x}{a^y}.$ Statement $3$ is false because $\log x-\log y=\log(\frac{x}{y}).$ Statement $4$ confuses the change-of-base quotient with a difference, and statement $5$ has right side $a^2xy,$ not $axy.$

Thus, only statement $1$ is true, so the correct answer is E.

19.

Si $m$ hombres pueden realizar un trabajo en $d$ días, entonces $m+r$ hombres pueden realizarlo en:

If $m$ men can do a job in $d$ days, then $m+r$ men can do the job in:

$d+r$ días

$d+r$ days

$d-r$ días

$d-r$ days

$\dfrac{md}{m+r}$ días

$\dfrac{md}{m+r}$ days

$\dfrac{d}{m+r}$ días

$\dfrac{d}{m+r}$ days

Ninguna de estas

None of these

Conceptos:tasa razón y proporción

Nivel de dificultad: 1220

Pista pequeña:

Mide el trabajo total en jornadas-hombre

Measure the total job in man-days

Pista grande:

El grupo original realiza $md$ jornadas-hombre de trabajo

The original crew performs $md$ man-days of work

Solución:

El trabajo requiere $m\cdot d=md$ jornadas-hombre. Con $m+r$ hombres trabajando al mismo ritmo individual, el número de días necesario es $\frac{md}{m+r}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The job requires $m\cdot d=md$ man-days. With $m+r$ men working at the same individual rate, the required number of days is $\frac{md}{m+r}.$

Thus, the correct answer is C.

20.

Al dividir $x^{13}+1$ entre $x-1,$ el residuo es:

When $x^{13}+1$ is divided by $x-1,$ the remainder is:

$1$

$-1$

$0$

$2$

Ninguna de estas respuestas

None of these answers

Conceptos:polinomio sustitución

Nivel de dificultad: 1520

Pista pequeña:

Usa el teorema del residuo

Use the Remainder Theorem

Pista grande:

Para dividir entre $x-1,$ evalúa el polinomio en $x=1$

For division by $x-1,$ evaluate the polynomial at $x=1$

Solución:

Por el teorema del residuo, el residuo al dividir entre $x-1$ es el valor del polinomio en $x=1.$ Este valor es $1^{13}+1=2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

By the Remainder Theorem, the remainder upon division by $x-1$ is the value of the polynomial at $x=1.$ This value is $1^{13}+1=2.$

Thus, the correct answer is D.

21.

El volumen de un prisma rectangular cuyas caras lateral, frontal e inferior tienen áreas de $12$ pulgadas cuadradas, $8$ pulgadas cuadradas y $6$ pulgadas cuadradas, respectivamente, es:

The volume of a rectangular solid each of whose side, front, and bottom faces are $12$ square inches, $8$ square inches, and $6$ square inches respectively is:

$576$ pulgadas cúbicas

$576$ cubic inches

$24$ pulgadas cúbicas

$24$ cubic inches

$9$ pulgadas cúbicas

$9$ cubic inches

$104$ pulgadas cúbicas

$104$ cubic inches

Ninguna de estas

None of these

Conceptos:prisma rectangular volumen área

Nivel de dificultad: 1600

Pista pequeña:

Sean $x,$ $y,$ y $z$ las longitudes de las tres aristas

Let the three edge lengths be $x,$ $y,$ and $z$

Pista grande:

El producto de las áreas de las tres caras es $(xyz)^2$

Multiplying the three face areas gives $(xyz)^2$

Solución:

Si las longitudes de las aristas son $x,$ $y,$ y $z,$ entonces las áreas de las tres caras son $xy,$ $yz,$ y $xz.$ Así, $\begin{aligned} (xyz)^2&=(xy)(yz)(xz)\\ &=12\cdot8\cdot6=576. \end{aligned}$ Como el volumen es positivo, $xyz=\sqrt{576}=24$ pulgadas cúbicas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

If the edge lengths are $x,$ $y,$ and $z,$ then the three face areas are $xy,$ $yz,$ and $xz.$ Therefore $\begin{aligned} (xyz)^2&=(xy)(yz)(xz)\\ &=12\cdot8\cdot6=576. \end{aligned}$ Since the volume is positive, $xyz=\sqrt{576}=24$ cubic inches.

Thus, the correct answer is B.

22.

Los descuentos sucesivos de $10\%$ y $20\%$ equivalen a un único descuento de:

Successive discounts of $10\%$ and $20\%$ are equivalent to a single discount of:

$30\%$

$15\%$

$72\%$

$28\%$

Ninguno de estos

None of these

Conceptos:porcentaje

Nivel de dificultad: 1100

Pista pequeña:

Aplica ambos descuentos a un precio de $100$

Apply both discounts to a price of $100$

Pista grande:

Después del primer descuento, el segundo se calcula sobre $90,$ no sobre $100$

After the first discount, the second discount is taken from $90,$ not from $100$

Solución:

Partiendo de un precio de $100,$ el primer descuento deja $90.$ El segundo descuento deja $0.8(90)=72.$ Así, la reducción total es $100-72=28,$ o $28\%.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Starting from a price of $100,$ the first discount leaves $90.$ The second discount leaves $0.8(90)=72.$ The total reduction is therefore $100-72=28,$ or $28\%.$

Thus, the correct answer is D.

23.

Un hombre compra una casa por $\$10{,}000$ y la alquila. Aparta $12\dfrac12\%$ de la renta de cada mes para reparaciones y mantenimiento, paga $\$325$ de impuestos al año y obtiene un rendimiento de $5\dfrac12\%$ sobre su inversión. La renta mensual es:

A man buys a house for $\$10{,}000$ and rents it. He puts $12\dfrac12\%$ of each month’s rent aside for repairs and upkeep; pays $\$325$ a year taxes and realizes $5\dfrac12\%$ on his investment. The monthly rent is:

$\$64.82$

$\$83.33$

$\$72.08$

$\$45.83$

$\$177.08$

Conceptos:dinero porcentaje ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1650

Pista pequeña:

Sea $r$ la renta mensual y expresa la renta anual como $12r$

Let $r$ be the monthly rent and express the annual rent as $12r$

Pista grande:

Después del mantenimiento y los impuestos, el rendimiento anual debe ser $5.5\%$ de $\$10,000$

After upkeep and taxes, the annual return must be $5.5\%$ of $\$10,000$

Solución:

Sea la renta mensual $r$ dólares. La renta anual es $12r,$ de la cual queda $1-0.125=\tfrac78$ después de apartar el dinero para mantenimiento. El rendimiento anual deseado es $0.055(10,000)=550$ dólares, así que $\frac78(12r)-325=550.$ Por consiguiente, $10.5r=875,$ lo que da $r=83.\overline3,$ es decir, $\$83.33$ al centavo más cercano.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the monthly rent be $r$ dollars. The yearly rent is $12r,$ of which $1-0.125=\tfrac78$ remains after setting aside the upkeep money. The desired yearly return is $0.055(10,000)=550$ dollars, so $\frac78(12r)-325=550.$ Hence $10.5r=875,$ giving $r=83.\overline3,$ which is $\$83.33$ to the nearest cent.

Thus, the correct answer is B.

24.

La ecuación $x+\sqrt{x-2}=4$ tiene:

The equation $x+\sqrt{x-2}=4$ has:

$2$ raíces reales

$2$ real roots

$1$ raíz real y $1$ raíz imaginaria

$1$ real and $1$ imaginary root

$2$ raíces imaginarias

$2$ imaginary roots

Ninguna raíz

No roots

$1$ raíz real

$1$ real root

Conceptos:radical cuadrática sustitución

Nivel de dificultad: 1470

Pista pequeña:

Aísla la raíz cuadrada antes de elevar al cuadrado

Isolate the square root before squaring

Pista grande:

Comprueba en la ecuación original cada raíz de la cuadrática resultante

Check every root of the resulting quadratic in the original equation

Solución:

Al aislar y elevar al cuadrado se obtiene $\begin{aligned} \sqrt{x-2}&=4-x,\\ x-2&=(4-x)^2,\\ x^2-9x+18&=0. \end{aligned}$ Las raíces de la cuadrática son $3$ y $6.$ El valor $3$ satisface la ecuación original, pero $6$ da $6+\sqrt4=8,$ por lo que es una raíz extraña.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Isolating and squaring gives $\begin{aligned} \sqrt{x-2}&=4-x,\\ x-2&=(4-x)^2,\\ x^2-9x+18&=0. \end{aligned}$ The quadratic roots are $3$ and $6.$ The value $3$ satisfies the original equation, but $6$ gives $6+\sqrt4=8,$ so it is extraneous.

Thus, the correct answer is E.

25.

El valor de $\log_5\dfrac{(125)(625)}{25}$ es igual a:

The value of $\log_5\dfrac{(125)(625)}{25}$ is equal to:

$725$

$6$

$3125$

$5$

Ninguna de estas respuestas

None of these answers

Conceptos:logaritmo exponente

Nivel de dificultad: 1320

Pista pequeña:

Escribe $125,$ $625,$ y $25$ como potencias de $5$

Write $125,$ $625,$ and $25$ as powers of $5$

Pista grande:

El argumento del logaritmo se simplifica a $5^{3+4-2}$

The logarithm’s argument simplifies to $5^{3+4-2}$

Solución:

Como $125=5^3,$ $625=5^4,$ y $25=5^2,$ $\begin{aligned} &\log_5\frac{(125)(625)}{25}\\ &=\log_5\left(5^{3+4-2}\right)\\ &=\log_5(5^5)=5. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $125=5^3,$ $625=5^4,$ and $25=5^2,$ $\begin{aligned} &\log_5\frac{(125)(625)}{25}\\ &=\log_5\left(5^{3+4-2}\right)\\ &=\log_5(5^5)=5. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is D.

26.

Si $\log_{10}m=b-\log_{10}n,$ entonces $m=$

If $\log_{10}m=b-\log_{10}n,$ then $m=$

$\dfrac{b}{n}$

$bn$

$10^bn$

$b-10^n$

$\dfrac{10^b}{n}$

Conceptos:logaritmo manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1400

Pista pequeña:

Pasa $\log_{10}n$ al lado izquierdo

Move $\log_{10}n$ to the left side

Pista grande:

Combina los dos logaritmos y luego exponencia con base $10$

Combine the two logarithms and then exponentiate with base $10$

Solución:

Al reordenar y usar la regla del producto de los logaritmos se obtiene $\begin{aligned} &\log_{10}m+\log_{10}n\\ &=\log_{10}(mn)=b. \end{aligned}$ De aquí, $mn=10^b,$ así que $m=\dfrac{10^b}{n}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Rearranging and using the product rule for logarithms gives $\begin{aligned} &\log_{10}m+\log_{10}n\\ &=\log_{10}(mn)=b. \end{aligned}$ Therefore $mn=10^b,$ so $m=\dfrac{10^b}{n}.$

Thus, the correct answer is E.

27.

Un automóvil recorre $120$ millas de $A$ a $B$ a $30$ millas por hora, pero regresa la misma distancia a $40$ millas por hora. La velocidad media del viaje de ida y vuelta es más cercana a:

A car travels $120$ miles from $A$ to $B$ at $30$ miles per hour but returns the same distance at $40$ miles per hour. The average speed for the round trip is closest to:

$33$ millas por hora

$33$ mph

$34$ millas por hora

$34$ mph

$35$ millas por hora

$35$ mph

$36$ millas por hora

$36$ mph

$37$ millas por hora

$37$ mph

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo estimación

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

La velocidad media es la distancia total dividida entre el tiempo total

Average speed is total distance divided by total time

Pista grande:

Los dos trayectos duran $\frac{120}{30}$ y $\frac{120}{40}$ horas

The two legs take $\frac{120}{30}$ and $\frac{120}{40}$ hours

Solución:

La distancia total es $240$ millas. Los tiempos de viaje son $4$ horas y $3$ horas, por lo que la velocidad media, en millas por hora, es $\frac{240}{4+3}=\frac{240}{7}\approx34.29$ Este valor es más cercano a $34$ millas por hora.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The total distance is $240$ miles. The travel times are $4$ hours and $3$ hours, so the average speed, in miles per hour, is $\frac{240}{4+3}=\frac{240}{7}\approx34.29$ which is closest to $34$ mph.

Thus, the correct answer is B.

28.

Dos muchachos, $A$ y $B,$ salen al mismo tiempo en bicicleta de Port Jervis hacia Poughkeepsie, a $60$ millas de distancia. $A$ viaja $4$ millas por hora más despacio que $B.$ $B$ llega a Poughkeepsie y regresa de inmediato, encontrándose con $A$ a $12$ millas de Poughkeepsie. La velocidad de $A$ era:

Two boys $A$ and $B$ start at the same time to ride from Port Jervis to Poughkeepsie, $60$ miles away. $A$ travels $4$ miles an hour slower than $B.$ $B$ reaches Poughkeepsie and at once turns back meeting $A$ $12$ miles from Poughkeepsie. The rate of $A$ was:

$4$ millas por hora

$4$ mph

$8$ millas por hora

$8$ mph

$12$ millas por hora

$12$ mph

$16$ millas por hora

$16$ mph

$20$ millas por hora

$20$ mph

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo velocidad relativa razón y proporción

Nivel de dificultad: 1640

Pista pequeña:

Para el momento del encuentro, $A$ ha recorrido $48$ millas

By the meeting time, $A$ has traveled $48$ miles

Pista grande:

En el mismo tiempo, $B$ ha recorrido $60+12=72$ millas

In the same time, $B$ has traveled $60+12=72$ miles

Solución:

En el punto de encuentro, $A$ ha recorrido $60-12=48$ millas y $B$ ha recorrido $60+12=72$ millas. Como sus tiempos de viaje son iguales, sus velocidades están en la razón $48:72=2:3.$ Si la velocidad de $A$ es $v,$ entonces la de $B$ es $v+4,$ de modo que $\frac{v}{v+4}=\frac23.$ De aquí, $3v=2v+8,$ y $v=8$ millas por hora.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

At the meeting point, $A$ has traveled $60-12=48$ miles and $B$ has traveled $60+12=72$ miles. Since their travel times are equal, their speeds are in the ratio $48:72=2:3.$ If $A$ ’s speed is $v,$ then $B$ ’s is $v+4,$ so $\frac{v}{v+4}=\frac23.$ Thus $3v=2v+8,$ and $v=8$ mph.

Thus, the correct answer is B.

29.

Un fabricante construyó una máquina que escribe direcciones en $500$ sobres en $8$ minutos. Desea construir otra máquina para que, al funcionar juntas, escriban direcciones en $500$ sobres en $2$ minutos. La ecuación que permite hallar cuántos minutos $x$ necesitaría la segunda máquina para completar por sí sola $500$ sobres es:

A manufacturer built a machine which will address $500$ envelopes in $8$ minutes. He wishes to build another machine so that when both are operating together they will address $500$ envelopes in $2$ minutes. The equation used to find how many minutes $x$ it would require the second machine to address $500$ envelopes alone is:

$8-x=2$

$\dfrac18+\dfrac1x=\dfrac12$

$\dfrac{500}{8}+\dfrac{500}{x}=500$

$\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{8}=1$

Ninguna de estas respuestas

None of these answers

Conceptos:tasa ecuación racional

Nivel de dificultad: 1440

Pista pequeña:

Mide la tasa de cada máquina en lotes de $500$ sobres por minuto

Measure each machine’s rate in batches of $500$ envelopes per minute

Pista grande:

Las dos tasas individuales deben sumar la tasa conjunta

The two individual rates must add to the combined rate

Solución:

La primera máquina completa $\tfrac18$ de un lote de $500$ sobres por minuto, y la segunda completa $\tfrac1x$ de un lote por minuto. Juntas deben completar $\tfrac12$ de un lote por minuto. Por consiguiente, la ecuación requerida es $\frac18+\frac1x=\frac12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The first machine completes $\tfrac18$ of a $500$ -envelope batch per minute, and the second completes $\tfrac1x$ of a batch per minute. Together they must complete $\tfrac12$ of a batch per minute. Therefore the required equation is $\frac18+\frac1x=\frac12.$

Thus, the correct answer is B.

30.

De un grupo de muchachos y muchachas se van $15$ muchachas. Quedan entonces dos muchachos por cada muchacha. Después se van $45$ muchachos. Quedan entonces $5$ muchachas por cada muchacho. El número inicial de muchachas era:

From a group of boys and girls, $15$ girls leave. There are then left two boys for each girl. After this $45$ boys leave. There are then $5$ girls for each boy. The number of girls in the beginning was:

$40$

$43$

$29$

$50$

Ninguna de estas

None of these

Conceptos:sistema de ecuaciones razón y proporción

Nivel de dificultad: 1600

Pista pequeña:

Sean $G$ y $B$ las cantidades iniciales de muchachas y muchachos

Let $G$ and $B$ be the original numbers of girls and boys

Pista grande:

Traduce las dos razones como $B=2(G-15)$ y $G-15=5(B-45)$

Translate the two ratios as $B=2(G-15)$ and $G-15=5(B-45)$

Solución:

Sean las cantidades iniciales $G$ muchachas y $B$ muchachos. Las dos condiciones dan $\begin{aligned} B&=2(G-15),\\ G-15&=5(B-45). \end{aligned}$ Al sustituir la primera en la segunda se obtiene $\begin{aligned} G-15 &=5\bigl(2(G-15)-45\bigr)\\ &=10G-375. \end{aligned}$ Por consiguiente, $9G=360,$ así que $G=40.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let the original counts be $G$ girls and $B$ boys. The two conditions give $\begin{aligned} B&=2(G-15),\\ G-15&=5(B-45). \end{aligned}$ Substituting the first into the second yields $\begin{aligned} G-15 &=5\bigl(2(G-15)-45\bigr)\\ &=10G-375. \end{aligned}$ Hence $9G=360,$ so $G=40.$

Thus, the correct answer is A.

31.

John pidió $4$ pares de calcetines negros y algunos pares adicionales de calcetines azules. El precio por par de los calcetines negros era el doble del de los azules. Al preparar el pedido, se descubrió que se habían intercambiado las cantidades de pares de los dos colores. Esto aumentó la cuenta en $50\%.$ La razón entre el número de pares negros y el número de pares azules del pedido original era:

John ordered $4$ pairs of black socks and some additional pairs of blue socks. The price of the black socks per pair was twice that of the blue. When the order was filled, it was found that the number of pairs of the two colors had been interchanged. This increased the bill by $50\%.$ The ratio of the number of pairs of black socks to the number of pairs of blue socks in the original order was:

$4:1$

$2:1$

$1:4$

$1:2$

$1:8$

Conceptos:dinero razón y proporción ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

Sea $p$ el precio de un par azul y $n$ el número original de pares azules

Let a blue pair cost $p$ and let $n$ be the original number of blue pairs

Pista grande:

Compara la cuenta original $(8+n)p$ con la cuenta intercambiada $(2n+4)p$

Compare the original bill $(8+n)p$ with the interchanged bill $(2n+4)p$

Solución:

Sea $p$ el precio de un par azul, de modo que un par negro cuesta $2p,$ y sea $n$ el número original de pares azules. La cuenta original es $(8+n)p.$ Después de intercambiar las cantidades, la cuenta es $(2n+4)p.$ Esta última es $50\%$ mayor, así que $2n+4=\frac32(n+8).$ De aquí, $n=16,$ y la razón original entre pares negros y azules es $4:16=1:4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let a blue pair cost $p,$ so a black pair costs $2p,$ and let $n$ be the original number of blue pairs. The original bill is $(8+n)p.$ After the quantities are interchanged, the bill is $(2n+4)p.$ The latter is $50\%$ greater, so $2n+4=\frac32(n+8).$ Thus $n=16,$ and the original black-to-blue ratio is $4:16=1:4.$

Thus, the correct answer is C.

32.

Una escalera de $25$ pies se apoya contra la pared vertical de un edificio. El pie de la escalera está a $7$ pies de la base del edificio. Si la parte superior de la escalera se desliza $4$ pies, entonces el pie de la escalera se deslizará:

A $25$ foot ladder is placed against a vertical wall of a building. The foot of the ladder is $7$ feet from the base of the building. If the top of the ladder slips $4$ feet, then the foot of the ladder will slide:

$9$ pies

$9$ ft

$15$ pies

$15$ ft

$5$ pies

$5$ ft

$8$ pies

$8$ ft

$4$ pies

$4$ ft

Conceptos:Teorema de Pitágoras triángulo rectángulo

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Halla la altura original de la escalera en la pared mediante un triángulo rectángulo

Find the ladder’s original height on the wall using a right triangle

Pista grande:

Después de que la parte superior se desliza, la nueva altura es $4$ pies menor y la hipotenusa sigue midiendo $25$

After the top slips, the new height is $4$ feet less while the hypotenuse stays $25$

Solución:

La altura inicial, en pies, es $\sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{576}=24.$ Después de que la parte superior se desliza, la altura es $20$ pies, de modo que la nueva distancia horizontal es $\sqrt{25^2-20^2}=15$ pies. Por consiguiente, el pie se desliza $15-7=8$ pies.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The initial height, in feet, is $\sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{576}=24.$ After the top slips, the height is $20$ feet, so the new horizontal distance is $\sqrt{25^2-20^2}=15$ feet. The foot therefore slides $15-7=8$ feet.

Thus, the correct answer is D.

33.

El número de tubos circulares de diámetro interior $1$ pulgada que transportarán la misma cantidad de agua que un tubo de diámetro interior $6$ pulgadas es:

The number of circular pipes with an inside diameter of $1$ inch which will carry the same amount of water as a pipe with an inside diameter of $6$ inches is:

$6\pi$

$6$

$12$

$36$

$36\pi$

Conceptos:área del círculo escalamiento de potencias de longitud, área y volumen

Nivel de dificultad: 1240

Pista pequeña:

La capacidad de transportar agua es proporcional al área de la sección transversal

Water-carrying capacity is proportional to cross-sectional area

Pista grande:

El área circular es proporcional al cuadrado del diámetro

Circular area scales as the square of the diameter

Solución:

La razón de los diámetros es $6:1,$ por lo que la razón de las áreas transversales es $6^2:1^2=36:1.$ Así, $36$ de los tubos pequeños tienen la misma área transversal total que el tubo grande.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The ratio of the diameters is $6:1,$ so the ratio of cross-sectional areas is $6^2:1^2=36:1.$ Thus $36$ of the smaller pipes have the same total cross-sectional area as the larger pipe.

Thus, the correct answer is D.

34.

Cuando la circunferencia de un globo de juguete aumenta de $20$ pulgadas a $25$ pulgadas, el radio aumenta en:

When the circumference of a toy balloon is increased from $20$ inches to $25$ inches, the radius is increased by:

$5$ pulgadas

$5$ in

$2\dfrac12$ pulgadas

$2\dfrac12$ in

$\dfrac5\pi$ pulgadas

$\dfrac5\pi$ in

$\dfrac{5}{2\pi}$ pulgadas

$\dfrac{5}{2\pi}$ in

$\dfrac{\pi}{5}$ pulgadas

$\dfrac{\pi}{5}$ in

Conceptos:circunferencia manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Usa $C=2\pi r$ para cada circunferencia

Use $C=2\pi r$ for each circumference

Pista grande:

El cambio de la circunferencia es $2\pi$ veces el cambio del radio

The change in circumference is $2\pi$ times the change in radius

Solución:

Como $C=2\pi r,$ los cambios satisfacen $25-20=2\pi\mathopen{}\left(r_{\mathrm{new}}-r_{\mathrm{old}}\right)\mathclose{}.$ Así, el radio aumenta $\dfrac{5}{2\pi}$ pulgadas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Because $C=2\pi r,$ the changes satisfy $25-20=2\pi\mathopen{}\left(r_{\mathrm{new}}-r_{\mathrm{old}}\right)\mathclose{}.$ Hence the radius increases by $\dfrac{5}{2\pi}$ inches.

Thus, the correct answer is D.

35.

En el triángulo $ABC,$ $AC=24$ pulgadas, $BC=10$ pulgadas y $AB=26$ pulgadas. El radio del círculo inscrito es:

In triangle $ABC,$ $AC=24$ inches, $BC=10$ inches, $AB=26$ inches. The radius of the inscribed circle is:

$26$ pulgadas

$26$ in

$4$ pulgadas

$4$ in

$13$ pulgadas

$13$ in

$8$ pulgadas

$8$ in

Ninguna de estas

None of these

Conceptos:triángulo rectángulo circunferencia inscrita, incentro e inradio Terna pitagórica

Nivel de dificultad: 1510

Pista pequeña:

Las longitudes de los lados forman un triángulo rectángulo

The side lengths form a right triangle

Pista grande:

Para un triángulo rectángulo con catetos $a,b$ e hipotenusa $c,$ el inradio es $\frac{a+b-c}{2}$

For a right triangle with legs $a,b$ and hypotenuse $c,$ the inradius is $\frac{a+b-c}{2}$

Solución:

Como $10^2+24^2=26^2,$ el triángulo es rectángulo. Su área es $\tfrac12(10)(24)=120,$ y su semiperímetro es $\tfrac{10+24+26}{2}=30.$ Usando $K=rs,$ el inradio, en pulgadas, es $r=\frac{K}{s}=\frac{120}{30}=4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $10^2+24^2=26^2,$ the triangle is right. Its area is $\tfrac12(10)(24)=120,$ and its semiperimeter is $\tfrac{10+24+26}{2}=30.$ Using $K=rs,$ the inradius, in inches, is $r=\frac{K}{s}=\frac{120}{30}=4.$

Thus, the correct answer is B.

36.

Un comerciante compra mercancía con un descuento de $25\%$ sobre el precio de lista. Desea fijar un precio marcado que le permita aplicar un descuento de $20\%$ y aun obtener una ganancia de $25\%$ del precio de venta. ¿Qué porcentaje del precio de lista debe marcar en la mercancía?

A merchant buys goods at $25\%$ off the list price. He desires to mark the goods so that he can give a discount of $20\%$ on the marked price and still clear a profit of $25\%$ on the selling price. What per cent of the list price must he mark the goods?

$125\%$

$100\%$

$120\%$

$80\%$

$75\%$

Conceptos:porcentaje dinero ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

Toma el precio de lista como $L$ y el precio marcado como $M$

Take the list price to be $L$ and the marked price to be $M$

Pista grande:

El costo es $0.75L,$ el precio de venta es $0.8M,$ y el costo es $75\%$ del precio de venta

The cost is $0.75L,$ the selling price is $0.8M,$ and the cost is $75\%$ of the selling price

Solución:

Sean $L$ y $M$ los precios de lista y marcado. El costo del comerciante es $0.75L,$ mientras que el precio de venta después del descuento es $0.8M.$ Una ganancia igual al $25\%$ del precio de venta significa que el costo es el $75\%$ restante de ese precio. Por lo tanto, $0.75L=0.75(0.8M)=0.6M.$ Así, $M=1.25L,$ o $125\%$ del precio de lista.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let the list and marked prices be $L$ and $M.$ The merchant’s cost is $0.75L,$ while the selling price after the discount is $0.8M.$ A profit equal to $25\%$ of the selling price means that the cost is the remaining $75\%$ of that price. Therefore $0.75L=0.75(0.8M)=0.6M.$ Thus $M=1.25L,$ or $125\%$ of the list price.

Thus, the correct answer is A.

37.

Si $y=\log_a x,$ $a>1,$ ¿cuál de las siguientes afirmaciones es incorrecta?

If $y=\log_a x,$ $a>1,$ which of the following statements is incorrect?

Si $x=1,$ entonces $y=0$

If $x=1,$ $y=0$

Si $x=a,$ entonces $y=1$

If $x=a,$ $y=1$

Si $x=-1,$ entonces $y$ es imaginario (complejo)

If $x=-1,$ $y$ is imaginary (complex)

Si 0<x<1, entonces $y$ siempre es menor que $0$ y decrece sin límite cuando $x$ se aproxima a cero

If 0<x<1, $y$ is always less than $0$ and decreases without limit as $x$ approaches zero

Solo algunas de las afirmaciones anteriores son correctas

Only some of the above statements are correct

Conceptos:logaritmo función número complejo

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Comprueba directamente las opciones A y B mediante la definición de logaritmo

Check choices A and B directly from the definition of a logarithm

Pista grande:

Para $a>1,$ el logaritmo real es creciente y tiende a $-\infty$ cuando $x$ se aproxima a $0$ por la derecha

For $a>1,$ the real logarithm is increasing and tends to $-\infty$ as $x$ approaches $0$ from the right

Solución:

Tenemos $\log_a1=0$ y $\log_aa=1.$ Un logaritmo real no está definido en $-1,$ aunque sus valores complejos no son reales. Para $a>1,$ se cumple $\log_a x<0$ en $0<x<1,$ y tiende a $-\infty$ cuando $x$ se aproxima a $0$ por la derecha. Así, las afirmaciones A a D son todas correctas, de modo que la afirmación de que solo algunas son correctas es la incorrecta.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

We have $\log_a1=0$ and $\log_aa=1.$ A real logarithm is not defined at $-1,$ though its complex values are nonreal. For $a>1,$ $\log_a x<0$ on $0<x<1,$ and it tends to $-\infty$ as $x$ approaches $0$ from the right. Thus statements A through D are all correct, making the claim that only some are correct the incorrect statement.

Thus, the correct answer is E.

38.

Si la expresión $\begin{vmatrix}a&c\\d&b\end{vmatrix}$ tiene el valor $ab-cd$ para todos los valores de $a,$ $b,$ $c,$ y $d,$ entonces la ecuación $\begin{vmatrix}2x&1\\x&x\end{vmatrix}=3$

If the expression $\begin{vmatrix}a&c\\d&b\end{vmatrix}$ has the value $ab-cd$ for all values of $a,$ $b,$ $c,$ and $d,$ then the equation $\begin{vmatrix}2x&1\\x&x\end{vmatrix}=3$

Se satisface para solo $1$ valor de $x$

Is satisfied for only $1$ value of $x$

Se satisface para $2$ valores de $x$

Is satisfied for $2$ values of $x$

No se satisface para ningún valor de $x$

Is satisfied for no values of $x$

Se satisface para una cantidad infinita de valores de $x$

Is satisfied for an infinite number of values of $x$

Ninguna de estas

None of these

Conceptos:determinante cuadrática

Nivel de dificultad: 1600

Pista pequeña:

Aplica la regla dada para convertir el determinante en una ecuación cuadrática

Apply the given rule to turn the determinant into a quadratic equation

Pista grande:

La ecuación es $2x^2-x=3$

The equation is $2x^2-x=3$

Solución:

La regla dada convierte la ecuación en $(2x)(x)-(1)(x)=3,$ o $2x^2-x-3=0.$ Al factorizar se obtiene $(2x-3)(x+1)=0,$ cuyas dos soluciones distintas son $x=\tfrac32$ y $x=-1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The given rule turns the equation into $(2x)(x)-(1)(x)=3,$ or $2x^2-x-3=0.$ Factoring gives $(2x-3)(x+1)=0,$ whose two distinct solutions are $x=\tfrac32$ and $x=-1.$

Thus, the correct answer is B.

39.

Dada la serie $2+1+\dfrac12+\dfrac14+\cdots$ y las siguientes cinco afirmaciones:

$(1)$ la suma aumenta sin límite.

$(2)$ la suma disminuye sin límite.

$(3)$ la diferencia entre cualquier término de la sucesión y cero puede hacerse menor que cualquier cantidad positiva, por pequeña que sea.

$(4)$ la diferencia entre la suma y $4$ puede hacerse menor que cualquier cantidad positiva, por pequeña que sea.

$(5)$ la suma se aproxima a un límite.

De estas afirmaciones, las correctas son:

Given the series $2+1+\dfrac12+\dfrac14+\cdots$ and the following five statements:

$(1)$ the sum increases without limit.

$(2)$ the sum decreases without limit.

$(3)$ the difference between any term of the sequence and zero can be made less than any positive quantity no matter how small.

$(4)$ the difference between the sum and $4$ can be made less than any positive quantity no matter how small.

$(5)$ the sum approaches a limit.

Of these statements, the correct ones are:

Solo $3$ y $4$

Only $3$ and $4$

Solo $5$

Only $5$

Solo $2$ y $4$

Only $2$ and $4$

Solo $2,$ $3,$ y $4$

Only $2,$ $3,$ and $4$

Solo $4$ y $5$

Only $4$ and $5$

Conceptos:sucesión geométrica sumatoria cálculo

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Distingue los términos de la sucesión de sus sumas parciales

Distinguish the terms of the sequence from its partial sums

Pista grande:

Una serie geométrica con primer término $2$ y razón $\frac{1}{2}$ tiene sumas parciales que se aproximan a $4$

A geometric series with first term $2$ and ratio $\frac{1}{2}$ has partial sums approaching $4$

Solución:

Las sumas parciales aumentan hacia $\frac{2}{1-\frac12}=4,$ por lo que no aumentan ni disminuyen sin límite. Esto hace falsas las afirmaciones $1$ y $2$ , mientras que las afirmaciones $4$ y $5$ son verdaderas.

En la afirmación $3,$ «cualquier término» se refiere a un término ya elegido, cuya distancia a cero es fija y no puede reducirse; lo que sí puede hacerse es elegir un término suficientemente avanzado que esté por debajo de cualquier cota positiva dada. Por lo tanto, la afirmación $3$ , tal como está redactada, es falsa.

Por consiguiente, solo las afirmaciones $4$ y $5$ son correctas, así que la respuesta correcta es E.

The partial sums increase toward $\frac{2}{1-\frac12}=4,$ so they neither increase nor decrease without limit. This makes statements $1$ and $2$ false, while statements $4$ and $5$ are true.

In statement $3,$ “any term” refers to an already selected term, whose distance from zero is fixed and cannot be made smaller; one can instead choose a sufficiently late term below any prescribed positive bound. Thus statement $3$ , as worded, is false.

Therefore only statements $4$ and $5$ are correct, so the correct answer is E.

40.

El límite de $\dfrac{x^2-1}{x-1}$ cuando $x$ se aproxima a $1$ es:

The limit of $\dfrac{x^2-1}{x-1}$ as $x$ approaches $1$ as a limit is:

$0$

Indeterminado

Indeterminate

$x-1$

$2$

$1$

Conceptos:cálculo diferencia de cuadrados

Nivel de dificultad: 1470

Pista pequeña:

Factoriza el numerador como una diferencia de cuadrados

Factor the numerator as a difference of squares

Pista grande:

Para $x\ne1,$ cancela el factor común $x-1$

For $x\ne1,$ cancel the common factor $x-1$

Solución:

Para $x\ne1,$ $\begin{aligned} \frac{x^2-1}{x-1} &=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}\\ &=x+1. \end{aligned}$ Por consiguiente, el límite cuando $x$ se aproxima a $1$ es $1+1=2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For $x\ne1,$ $\begin{aligned} \frac{x^2-1}{x-1} &=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}\\ &=x+1. \end{aligned}$ Therefore the limit as $x$ approaches $1$ is $1+1=2.$

Thus, the correct answer is D.

41.

El valor mínimo de la función $ax^2+bx+c$ , con $a>0,$ es:

The least value of the function $ax^2+bx+c$ with $a>0$ is:

$-\dfrac ba$

$-\dfrac{b}{2a}$

$b^2-4ac$

$\dfrac{4ac-b^2}{4a}$

Ninguno de estos

None of these

Conceptos:completar el cuadrado cuadrática optimización

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

Completa el cuadrado en $ax^2+bx+c$

Complete the square in $ax^2+bx+c$

Pista grande:

Como $a>0,$ el término cuadrado alcanza su mínimo cuando es igual a cero

Since $a>0,$ the squared term is minimized when it equals zero

Solución:

Al completar el cuadrado se obtiene $\begin{aligned} ax^2+bx+c &=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2\\ &\quad+c-\frac{b^2}{4a}. \end{aligned}$ Como $a>0,$ el término cuadrado tiene mínimo $0.$ Así, el valor mínimo es $c-\frac{b^2}{4a}=\frac{4ac-b^2}{4a}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Completing the square gives $\begin{aligned} ax^2+bx+c &=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2\\ &\quad+c-\frac{b^2}{4a}. \end{aligned}$ Because $a>0,$ the squared term has minimum $0.$ The least value is therefore $c-\frac{b^2}{4a}=\frac{4ac-b^2}{4a}.$

Thus, the correct answer is D.

42.

La ecuación $x^{x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}}=2$ se satisface cuando $x$ es igual a:

The equation $x^{x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}}=2$ is satisfied when $x$ is equal to:

Infinito

Infinity

$2$

$\sqrt[4]{2}$

$\sqrt2$

Ninguno de estos

None of these

Conceptos:exponente recursión

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

El exponente sobre el primer $x$ vuelve a ser toda la torre infinita

The exponent above the first $x$ is the entire infinite tower again

Pista grande:

Sustituye esa torre repetida por su valor dado $2$

Replace that repeated tower by its given value $2$

Solución:

Sea $T$ el valor de la torre infinita. Al quitar el $x$ inferior queda la misma torre como exponente, de modo que $T=x^T.$ Como $T=2,$ obtenemos $2=x^2.$ Así, la base positiva es $x=\sqrt2,$ para la cual la torre converge.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the value of the infinite tower be $T.$ Removing its bottom $x$ leaves the same tower as the exponent, so $T=x^T.$ Since $T=2,$ we obtain $2=x^2.$ The positive base is therefore $x=\sqrt2,$ for which the tower is convergent.

Thus, the correct answer is D.

43.

La suma hasta el infinito de $\dfrac17+\dfrac{2}{7^2}+\dfrac{1}{7^3}+\dfrac{2}{7^4}+\cdots$ es:

The sum to infinity of $\dfrac17+\dfrac{2}{7^2}+\dfrac{1}{7^3}+\dfrac{2}{7^4}+\cdots$ is:

$\dfrac15$

$\dfrac1{24}$

$\dfrac5{48}$

$\dfrac1{16}$

Ninguna de estas

None of these

Conceptos:sucesión geométrica sumatoria

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Agrupa la serie en pares de términos consecutivos

Group the series into consecutive pairs of terms

Pista grande:

Cada par es $\frac{1}{49}$ veces el par anterior

Each pair is $\frac{1}{49}$ times the preceding pair

Solución:

Al agrupar términos consecutivos se obtiene una serie geométrica cuyo primer término agrupado es $\frac17+\frac2{49}=\frac9{49}$ y cuya razón es $\tfrac1{49}.$ Por ello, la suma es $\frac{\frac9{49}}{1-\frac1{49}} =\frac9{48} =\frac3{16}.$ Este valor no aparece entre las opciones A a D.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Grouping consecutive terms gives a geometric series whose first grouped term is $\frac17+\frac2{49}=\frac9{49}$ and whose ratio is $\tfrac1{49}.$ Hence the sum is $\frac{\frac9{49}}{1-\frac1{49}} =\frac9{48} =\frac3{16}.$ This is not among choices A through D.

Thus, the correct answer is E.

44.

La gráfica de $y=\log x$

The graph of $y=\log x$

Corta el eje $y$

Cuts the $y$ -axis

Corta todas las rectas perpendiculares al eje $x$

Cuts all lines perpendicular to the $x$ -axis

Corta el eje $x$

Cuts the $x$ -axis

No corta ninguno de los dos ejes

Cuts neither axis

Corta todos los círculos con centro en el origen

Cuts all circles whose center is at the origin

Conceptos:logaritmo función geometría analítica

Nivel de dificultad: 1340

Pista pequeña:

Halla dónde $\log x=0$

Find where $\log x=0$

Pista grande:

El logaritmo está definido solo para $x>0$

The logarithm is defined only for $x>0$

Solución:

Como $\log1=0,$ la gráfica pasa por $(1,0)$ y, por eso, corta el eje $x$ . No puede cortar el eje $y$ porque $x=0$ está fuera de su dominio.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $\log1=0,$ the graph passes through $(1,0)$ and therefore cuts the $x$ -axis. It cannot cut the $y$ -axis because $x=0$ is outside its domain.

Thus, the correct answer is C.

45.

El número de diagonales que pueden trazarse en un polígono de $100$ lados es:

The number of diagonals that can be drawn in a polygon of $100$ sides is:

$4850$

$4950$

$9900$

$98$

$8800$

Conceptos:diagonal combinaciones

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

Cada par de vértices determina un segmento

Every pair of vertices determines a segment

Pista grande:

Resta los $100$ lados de los $\binom{100}{2}$ pares de vértices

Subtract the $100$ sides from the $\binom{100}{2}$ vertex pairs

Solución:

Hay $\binom{100}{2}$ segmentos que unen pares de vértices. Exactamente $100$ de ellos son lados, por lo que el número de diagonales es $\begin{aligned} \binom{100}{2}-100 &=4950-100\\ &=4850. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

There are $\binom{100}{2}$ segments joining pairs of vertices. Exactly $100$ of these are sides, so the number of diagonals is $\begin{aligned} \binom{100}{2}-100 &=4950-100\\ &=4850. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is A.

46.

En el triángulo $ABC,$ $AB=12,$ $AC=7,$ y $BC=10.$ Si se duplican los lados $AB$ y $AC$ mientras $BC$ permanece igual, entonces:

In triangle $ABC,$ $AB=12,$ $AC=7,$ and $BC=10.$ If sides $AB$ and $AC$ are doubled while $BC$ remains the same, then:

El área se duplica

The area is doubled

La altura se duplica

The altitude is doubled

El área es cuatro veces el área original

The area is four times the original area

La mediana no cambia

The median is unchanged

El área del triángulo es $0$

The area of the triangle is $0$

Conceptos:desigualdad triangular área

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Escribe las tres nuevas longitudes de los lados

Write down the three new side lengths

Pista grande:

Compara el mayor lado nuevo con la suma de los otros dos

Compare the largest new side with the sum of the other two

Solución:

Las nuevas longitudes de los lados son $24,$ $14,$ y $10.$ Como $14+10=24,$ forman un triángulo degenerado: los tres vértices son colineales. En consecuencia, su área es $0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The new side lengths are $24,$ $14,$ and $10.$ Because $14+10=24,$ they form a degenerate triangle: all three vertices are collinear. Its area is therefore $0.$

Thus, the correct answer is E.

47.

Un rectángulo inscrito en un triángulo tiene su base coincidente con la base $b$ del triángulo. Si la altura del triángulo es $h,$ y la altura $x$ del rectángulo es la mitad de la base del rectángulo, entonces:

A rectangle inscribed in a triangle has its base coinciding with the base $b$ of the triangle. If the altitude of the triangle is $h,$ and the altitude $x$ of the rectangle is half the base of the rectangle, then:

$x=\dfrac12h$

$x=\dfrac{bh}{b+h}$

$x=\dfrac{bh}{2h+b}$

$x=\sqrt{\dfrac{hb}{2}}$

$x=\dfrac12b$

Conceptos:semejanza rectángulo altura

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

El segmento transversal del triángulo a la altura $x$ tiene longitud $b(1-\frac{x}{h})$

The segment across the triangle at height $x$ has length $b(1-\frac{x}{h})$

Pista grande:

La base del rectángulo es $2x$

The rectangle’s base is $2x$

Solución:

Por semejanza, el ancho del triángulo a la altura $x$ sobre su base es $b(1-\tfrac{x}{h}).$ Esta es la base del rectángulo inscrito. Como la altura del rectángulo es la mitad de su base, su base es $2x.$ Por ello, $2x=b\left(1-\frac{x}{h}\right).$ Al multiplicar por $h$ y resolver se obtiene $x(2h+b)=bh,$ de modo que $x=\dfrac{bh}{2h+b}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

By similarity, the width of the triangle at height $x$ above its base is $b(1-\tfrac{x}{h}).$ This is the base of the inscribed rectangle. Since the rectangle’s altitude is half its base, its base is $2x.$ Hence $2x=b\left(1-\frac{x}{h}\right).$ Multiplying by $h$ and solving gives $x(2h+b)=bh,$ so $x=\dfrac{bh}{2h+b}.$

Thus, the correct answer is C.

48.

Se elige al azar un punto dentro de un triángulo equilátero. Desde este punto se trazan perpendiculares a cada lado. La suma de estas perpendiculares es:

A point is selected at random inside an equilateral triangle. From this point perpendiculars are dropped to each side. The sum of these perpendiculars is:

Mínima cuando el punto es el centro de gravedad del triángulo

Least when the point is the center of gravity of the triangle

Mayor que la altura del triángulo

Greater than the altitude of the triangle

Igual a la altura del triángulo

Equal to the altitude of the triangle

La mitad de la suma de los lados del triángulo

One-half the sum of the sides of the triangle

Máxima cuando el punto es el centro de gravedad

Greatest when the point is the center of gravity

Conceptos:Teorema de Viviani triángulo equilátero descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1920

Pista pequeña:

Une el punto interior con los tres vértices

Join the interior point to all three vertices

Pista grande:

Suma las áreas de los tres triángulos pequeños usando la longitud común de los lados como bases

Add the areas of the three smaller triangles using the common side length as their bases

Solución:

Sea $s$ la longitud del lado del triángulo equilátero y $h$ su altura, y sean $d_1,d_2,d_3$ las tres distancias perpendiculares. Al dividir el triángulo mediante el punto interior se obtiene $\frac12s(d_1+d_2+d_3)=\frac12sh.$ Así, $d_1+d_2+d_3=h,$ independientemente del punto elegido.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the equilateral triangle have side length $s$ and altitude $h,$ and let the three perpendicular distances be $d_1,d_2,d_3.$ Splitting the triangle at the interior point gives $\frac12s(d_1+d_2+d_3)=\frac12sh.$ Therefore $d_1+d_2+d_3=h,$ independent of the selected point.

Thus, the correct answer is C.

49.

Un triángulo tiene una base fija $AB$ de $2$ pulgadas. La mediana desde $A$ hasta el lado $BC$ mide $1\dfrac12$ pulgadas y puede ocupar cualquier posición que parta de $A.$ El lugar geométrico del vértice $C$ del triángulo es:

A triangle has a fixed base $AB$ that is $2$ inches long. The median from $A$ to side $BC$ is $1\dfrac12$ inches long and can have any position emanating from $A.$ The locus of the vertex $C$ of the triangle is:

La recta $AB,$ a $1\dfrac12$ pulgadas de $A$

A straight line $AB,$ $1\dfrac12$ inches from $A$

Un círculo con centro $A$ y radio $2$ pulgadas

A circle with $A$ as center and radius $2$ inches

Un círculo con centro $A$ y radio $3$ pulgadas

A circle with $A$ as center and radius $3$ inches

Un círculo de radio $3$ pulgadas cuyo centro está a $4$ pulgadas de $B$ a lo largo de $BA$

A circle with radius $3$ inches and center $4$ inches from $B$ along $BA$

Una elipse con foco $A$

An ellipse with $A$ as focus

Conceptos:mediana (geometría)círculo transformación

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Sea $M$ el punto medio de $BC$ ; entonces $M$ se mueve sobre un círculo con centro en $A$

Let $M$ be the midpoint of $BC$ ; then $M$ moves on a circle centered at $A$

Pista grande:

En forma vectorial, la relación del punto medio da $\vec C=2\vec M-\vec B$ cuando $A$ es el origen

In vector form, the midpoint relation gives $\vec C=2\vec M-\vec B$ when $A$ is the origin

Solución:

Coloca $A$ en el origen y considera $B,$ $C,$ y el punto medio $M$ de $BC$ como vectores. Como $AM=\tfrac32,$ el punto $M$ se mueve sobre un círculo de radio $\tfrac32$ con centro en $A.$ La relación del punto medio da $C=2M-B.$ Por lo tanto, el lugar geométrico de $C$ es la imagen de ese círculo bajo una dilatación de factor $2$ seguida de una traslación por $-B.$ Es un círculo de radio $3$ con centro en $-B.$

Como $AB=2,$ el punto $-B$ está a $4$ pulgadas de $B$ a lo largo del rayo $BA.$ Por ello, la respuesta correcta es D.

Put $A$ at the origin and regard $B,$ $C,$ and the midpoint $M$ of $BC$ as vectors. Since $AM=\tfrac32,$ the point $M$ moves on a circle of radius $\tfrac32$ centered at $A.$ The midpoint relation gives $C=2M-B.$ Thus the locus of $C$ is the image of that circle under a dilation by $2$ followed by translation by $-B.$ It is a circle of radius $3$ centered at $-B.$

Because $AB=2,$ the point $-B$ is $4$ inches from $B$ along the ray $BA.$ Hence the correct answer is D.

50.

Un corsario descubre un buque mercante a $10$ millas a sotavento a las $11{:}45$ a. m. y, con una buena brisa, se abalanza sobre él a $11$ millas por hora, mientras el mercante solo puede alcanzar $8$ millas por hora en su intento de escapar. Después de una persecución de dos horas, la vela de gavia del corsario se pierde: ahora solo puede recorrer $17$ millas mientras el mercante recorre $15.$ El corsario alcanzará al mercante a las:

A privateer discovers a merchantman $10$ miles to leeward at $11{:}45$ a.m. and with a good breeze bears down upon her at $11$ mph, while the merchantman can only make $8$ mph in her attempt to escape. After a two hour chase, the top sail of the privateer is carried away: she can now make only $17$ miles while the merchantman makes $15.$ The privateer will overtake the merchantman at:

$3{:}45$ p. m.

$3{:}30$ p. m.

$5{:}00$ p. m.

$2{:}45$ p. m.

$5{:}30$ p. m.

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo velocidad relativa razón y proporción

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Halla la distancia restante después de las primeras dos horas

Find the remaining gap after the first two hours

Pista grande:

Después de perder la vela, la razón de velocidades es $17:15$ , mientras el mercante sigue viajando a $8$ millas por hora

After the sail is lost, the speed ratio is $17:15$ while the merchantman still travels at $8$ mph

Solución:

Durante las primeras dos horas, la cantidad de millas que gana el corsario es $2(11-8)=6,$ lo que reduce la distancia de $10$ millas a $4$ millas a la $1{:}45$ p. m.

Después de perder la vela, las velocidades de los barcos están en la razón $17:15.$ Como el mercante sigue viajando a $8$ millas por hora, la nueva velocidad del corsario es $8\cdot\tfrac{17}{15}=\tfrac{136}{15}$ millas por hora. La velocidad de acercamiento es entonces $\tfrac{136}{15}-8=\tfrac{16}{15}$ millas por hora, por lo que la cantidad de horas necesarias para cerrar la distancia restante es $\frac{4}{\frac{16}{15}}=\frac{15}{4}=3\frac34.$ Al sumar $3$ horas $45$ minutos a la $1{:}45$ p. m. se obtiene $5{:}30$ p. m.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

During the first two hours, the number of miles the privateer gains is $2(11-8)=6,$ reducing the gap from $10$ miles to $4$ miles at $1{:}45$ p.m.

After the damage, the ships’ speeds are in the ratio $17:15.$ Since the merchantman still travels at $8$ mph, the privateer’s new speed is $8\cdot\tfrac{17}{15}=\tfrac{136}{15}$ mph. The closing speed is therefore $\tfrac{136}{15}-8=\tfrac{16}{15}$ mph, so the number of hours needed to close the remaining gap is $\frac{4}{\frac{16}{15}}=\frac{15}{4}=3\frac34.$ Adding $3$ hours $45$ minutes to $1{:}45$ p.m. gives $5{:}30$ p.m.

Thus, the correct answer is E.