Question

En el sistema de ecuaciones $z^x=y^{2x},$ $2^z=2\cdot4^x,$ $x+y+z=16,$ las raíces enteras en el orden $x,$ $y,$ $z$ son:

In the set of equations $z^x=y^{2x},$ $2^z=2\cdot4^x,$ $x+y+z=16,$ the integral roots in the order $x,$ $y,$ $z$ are:

$3,$ $4,$ $9$

$9,$ $-5,$ $12$

$12,$ $-5,$ $9$

$4,$ $3,$ $9$

$4,$ $9,$ $3$

Respuesta: D

Conceptos:exponente Ecuación diofántica sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1810

Pista pequeña:

Compara los exponentes en $2^z=2\cdot4^x$ para expresar $z$ en función de $x$

Compare exponents in $2^z=2\cdot4^x$ to express $z$ in terms of $x$

Pista grande:

Para la solución positiva prevista, $z^x=y^{2x}$ da $z=y^2$ ; sustituye ambas relaciones en la suma

For the intended positive solution, $z^x=y^{2x}$ gives $z=y^2$ ; substitute both relations into the sum

Solución:

Para la solución entera positiva prevista, la primera ecuación da $z=y^2.$ La segunda ecuación es $2^z=2^{2x+1},$ por lo que $z=2x+1$ y $x=\frac{y^2-1}{2}.$ Al sustituir en $x+y+z=16$ se obtiene $\frac{y^2-1}{2}+y+y^2=16.$ La solución entera positiva es $y=3,$ que da $x=4$ y $z=9.$ La sustitución directa verifica las tres ecuaciones mostradas.

Por lo tanto, la respuesta prevista entre las opciones es D.

For the intended positive integral solution, the first equation gives $z=y^2.$ The second equation is $2^z=2^{2x+1},$ so $z=2x+1$ and $x=\frac{y^2-1}{2}.$ Substituting into $x+y+z=16$ gives $\frac{y^2-1}{2}+y+y^2=16.$ The positive integral solution is $y=3,$ which gives $x=4$ and $z=9.$ Direct substitution verifies all three displayed equations.

Thus, the intended listed answer is D.

1952 AMC 12 Problema 47

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1810

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 47 en otros años