Question

En el círculo $O,$ el punto medio del radio $\overline{OX}$ es $Q;$ en $Q,$ $\overline{AB}\perp\overline{XY}.$ El semicírculo cuyo diámetro es $\overline{AB}$ corta a $\overline{XY}$ en $M.$ La recta $AM$ corta al círculo $O$ en $C,$ y la recta $BM$ corta al círculo $O$ en $D.$ Se traza la recta $AD$ . Entonces, si el radio del círculo $O$ es $r,$ $AD$ es:

In circle $O,$ the midpoint of radius $\overline{OX}$ is $Q;$ at $Q,$ $\overline{AB}\perp\overline{XY}.$ The semicircle with $\overline{AB}$ as diameter intersects $\overline{XY}$ in $M.$ Line $AM$ intersects circle $O$ in $C,$ and line $BM$ intersects circle $O$ in $D.$ Line $AD$ is drawn. Then, if the radius of circle $O$ is $r,$ $AD$ is:

$r\sqrt2$

$r$

no es un lado de un polígono regular inscrito

not a side of an inscribed regular polygon

$\dfrac{r\sqrt3}{2}$

$r\sqrt3$

Respuesta: A

Conceptos:círculo ángulo inscrito triángulo rectángulo especial

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

Como $\overline{XY}$ biseca perpendicularmente a $\overline{AB},$ compara $MA$ y $MB$

Since $\overline{XY}$ perpendicularly bisects $\overline{AB},$ compare $MA$ and $MB$

Pista grande:

Usa el semicírculo para hallar $\angle AMB,$ y después que $B,$ $M,$ y $D$ son colineales

Use the semicircle to find $\angle AMB,$ then use that $B,$ $M,$ and $D$ are collinear

Solución:

La recta $XY$ es la mediatriz de $AB,$ por lo que $MA=MB.$ Como $M$ está en el semicírculo de diámetro $AB,$ $\angle AMB=90^\circ.$ Así, el triángulo $AMB$ es rectángulo isósceles y $\angle ABM=45^\circ.$ Como $B,M,D$ son colineales, el ángulo inscrito $\angle ABD=45^\circ,$ de modo que el arco $AD$ que intercepta mide $90^\circ.$ Por lo tanto, la cuerda $AD$ es un lado de un cuadrado inscrito y tiene longitud $AD=r\sqrt2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Line $XY$ is the perpendicular bisector of $AB,$ so $MA=MB.$ Since $M$ lies on the semicircle with diameter $AB,$ $\angle AMB=90^\circ.$ Thus triangle $AMB$ is an isosceles right triangle and $\angle ABM=45^\circ.$ Because $B,M,D$ are collinear, the inscribed angle $\angle ABD=45^\circ,$ so its intercepted arc $AD$ measures $90^\circ.$ Therefore chord $AD$ is a side of an inscribed square and has length $AD=r\sqrt2.$

Thus, the correct answer is A.

1957 AMC 12 Problema 47

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 47 en otros años