Question

Sea $ABC$ un triángulo equilátero inscrito en el círculo $O.$ El punto $M$ está sobre el arco $BC.$ Se trazan las rectas $AM,$ $BM,$ y $CM$ . Entonces $AM$ es:

Let $ABC$ be an equilateral triangle inscribed in circle $O.$ $M$ is a point on arc $BC.$ Lines $AM,$ $BM,$ and $CM$ are drawn. Then $AM$ is:

igual a $BM+CM$

equal to $BM+CM$

menor que $BM+CM$

less than $BM+CM$

mayor que $BM+CM$

greater than $BM+CM$

igual, menor o mayor que $BM+CM,$ según la posición de $M$

equal to, less than, or greater than $BM+CM,$ depending upon the position of $M$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: A

Conceptos:cuadrilátero cíclico Teorema de Ptolomeo triángulo equilátero

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Aplica el teorema de Ptolomeo al cuadrilátero cíclico $ABMC$

Apply Ptolemy’s theorem to cyclic quadrilateral $ABMC$

Pista grande:

Usa $AB=BC=CA$ para cancelar la longitud común

Use $AB=BC=CA$ to cancel the common side length

Solución:

En el cuadrilátero cíclico $ABMC,$ el teorema de Ptolomeo da $\begin{aligned} AM\cdot BC &=AB\cdot CM\\ &\quad+AC\cdot BM. \end{aligned}$ Como $ABC$ es equilátero, $AB=BC=AC.$ Al dividir entre esta longitud común se obtiene $AM=CM+BM.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

In cyclic quadrilateral $ABMC,$ Ptolemy’s theorem gives $\begin{aligned} AM\cdot BC &=AB\cdot CM\\ &\quad+AC\cdot BM. \end{aligned}$ Since $ABC$ is equilateral, $AB=BC=AC.$ Dividing by this common length yields $AM=CM+BM.$

Therefore, the correct answer is A.

1957 AMC 12 Problema 48

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 48 en otros años