Question

Si $p$ es un entero positivo, entonces $\dfrac{3p+25}{2p-5}$ puede ser un entero positivo si y solo si $p$ es:

If $p$ is a positive integer, then $\dfrac{3p+25}{2p-5}$ can be a positive integer, if and only if $p$ is:

al menos $3$

at least $3$

igual a $3,$ $5,$ $9,$ o $35$

equal to $3,$ $5,$ $9,$ or $35$

no mayor que $35$

no more than $35$

igual a $35$

equal to $35$

igual a $3$ o $35$

equal to $3$ or $35$

Respuesta: B

Conceptos:integer divisibility rational expression factor divisors

Nivel de dificultad: 2210

Pista pequeña:

Sea $q=2p-5;$ la positividad obliga a que $q$ sea un entero impar positivo

Let $q=2p-5;$ positivity forces $q$ to be a positive odd integer

Pista grande:

Reescribe el cociente como $\frac{3+\frac{65}{q}}{2},$ de modo que $q$ debe ser un divisor positivo de $65$

Rewrite the quotient as $\frac{3+\frac{65}{q}}{2},$ so $q$ must be a positive divisor of $65$

Solución:

Sea $q=2p-5.$ Para que el cociente sea positivo se requiere $q>0,$ y $q$ es impar. Como $p=\frac{q+5}{2},$ $\begin{aligned} \frac{3p+25}{2p-5} &=\frac{3q+65}{2q}\\ &=\frac{3+\frac{65}{q}}{2}. \end{aligned}$ Así, $q$ debe ser un divisor positivo de $65.$ Las posibilidades $q=1,$ $q=5,$ $q=13,$ y $q=65$ dan $p=3,$ $p=5,$ $p=9,$ y $p=35,$ respectivamente, y cada una funciona. Ningún otro entero positivo $p$ funciona.

Por lo tanto, el conjunto matemáticamente correcto es $\{3,5,9,35\},$ que aparece en la opción ajustada B.

Set $q=2p-5.$ A positive quotient requires $q>0,$ and $q$ is odd. Since $p=\frac{q+5}{2},$ $\begin{aligned} \frac{3p+25}{2p-5} &=\frac{3q+65}{2q}\\ &=\frac{3+\frac{65}{q}}{2}. \end{aligned}$ Thus $q$ must be a positive divisor of $65.$ The possibilities $q=1,$ $q=5,$ $q=13,$ and $q=65$ give $p=3,$ $p=5,$ $p=9,$ and $p=35,$ respectively, and each works. No other positive integer $p$ works.

Therefore the mathematically correct set is $\{3,5,9,35\},$ shown in the adjusted choice B.

1956 AMC 12 Problema 48

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2210

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 48 en otros años