Question

El triángulo $PAB$ está formado por tres tangentes al círculo $O$ y $\angle APB=40^\circ;$ entonces el ángulo $AOB$ es igual a:

Triangle $PAB$ is formed by three tangents to circle $O$ and $\angle APB=40^\circ;$ then angle $AOB$ equals:

$45^\circ$

$50^\circ$

$55^\circ$

$60^\circ$

$70^\circ$

Respuesta: E

Conceptos:excircle angle bisectors triangle angles

Nivel de dificultad: 2030

Pista pequeña:

El círculo es tangente a un lado del triángulo $PAB$ y a las prolongaciones de los otros dos, por lo que $O$ es el excentro opuesto a $P$

The circle is tangent to one side of triangle $PAB$ and the extensions of the other two, so $O$ is the excenter opposite $P$

Pista grande:

Las bisectrices de los ángulos exteriores en $A$ y $B$ forman un ángulo de $90^\circ-\frac12\angle P$

The external angle bisectors at $A$ and $B$ form an angle of $90^\circ-\frac12\angle P$

Solución:

El círculo se encuentra al otro lado de $AB,$ respecto de $P,$ por lo que $O$ es el excentro opuesto a $P.$ Así, $AO$ y $BO$ bisecan los ángulos exteriores en $A$ y $B.$ Si los ángulos interiores en $A$ y $B$ son $\alpha$ y $\beta,$ entonces el triángulo $AOB$ tiene en $A$ y $B$ ángulos de $90^\circ-\frac{\alpha}{2}$ y $90^\circ-\frac{\beta}{2},$ respectivamente. Por tanto, $\begin{aligned} \angle AOB &=180^\circ-\left(90^\circ-\frac\alpha2\right)\\ &\mathrel{\phantom{=}}-\left(90^\circ-\frac\beta2\right)\\ &=\frac{\alpha+\beta}{2} =\frac{180^\circ-40^\circ}{2}\\ &=70^\circ. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The circle lies opposite $P$ across side $AB,$ so $O$ is the excenter opposite $P.$ Thus $AO$ and $BO$ bisect the exterior angles at $A$ and $B.$ If the interior angles at $A$ and $B$ are $\alpha$ and $\beta,$ then triangle $AOB$ has angles $90^\circ-\frac{\alpha}{2}$ and $90^\circ-\frac{\beta}{2}$ at $A$ and $B.$ Hence $\begin{aligned} \angle AOB &=180^\circ-\left(90^\circ-\frac\alpha2\right)\\ &\mathrel{\phantom{=}}-\left(90^\circ-\frac\beta2\right)\\ &=\frac{\alpha+\beta}{2} =\frac{180^\circ-40^\circ}{2}\\ &=70^\circ. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is E.

1956 AMC 12 Problema 49

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2030

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 49 en otros años