Question

Las medianas de un triángulo rectángulo trazadas desde los vértices de los ángulos agudos miden $5$ y $\sqrt{40}.$ La longitud de la hipotenusa es:

The medians of a right triangle which are drawn from the vertices of the acute angles are $5$ and $\sqrt{40}.$ The value of the hypotenuse is:

$10$

$2\sqrt{40}$

$\sqrt{13}$

$2\sqrt{13}$

Ninguna de las anteriores

None of these

Respuesta: D

Conceptos:mediana (geometría)triángulo rectángulo sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1930

Pista pequeña:

Sean $a,b$ los catetos y coloca el ángulo recto en su extremo común

Let the legs be $a,b$ and place the right angle at their common endpoint

Pista grande:

Las longitudes de las dos medianas dan $a^2+\frac{b^2}{4}=25$ y $\frac{a^2}{4}+b^2=40$

The two median lengths give $a^2+\frac{b^2}{4}=25$ and $\frac{a^2}{4}+b^2=40$

Solución:

Sean los catetos $a,b.$ Los cuadrados de las medianas trazadas desde los vértices agudos opuestos satisfacen $a^2+\frac{b^2}{4}=25,\qquad \frac{a^2}{4}+b^2=40.$ Al resolver se obtiene $a^2=16$ y $b^2=36.$ Por lo tanto, la hipotenusa $c$ satisface $c^2=a^2+b^2=52,$ de donde $c=2\sqrt{13}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the legs be $a,b.$ The medians from their opposite acute vertices have squared lengths $a^2+\frac{b^2}{4}=25,\qquad \frac{a^2}{4}+b^2=40.$ Solving gives $a^2=16$ and $b^2=36.$ Thus the hypotenuse $c$ satisfies $c^2=a^2+b^2=52,$ so $c=2\sqrt{13}.$

Thus, the correct answer is D.

1951 AMC 12 Problema 49

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1930

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 49 en otros años