Question

Para la serie infinita $\begin{aligned} &1-\dfrac12-\dfrac14+\dfrac18\\ &{}-\dfrac1{16}-\dfrac1{32}+\dfrac1{64}\\ &{}-\dfrac1{128}-\cdots, \end{aligned}$ sea $S$ la suma límite. Entonces $S$ es igual a:

For the infinite series $\begin{aligned} &1-\dfrac12-\dfrac14+\dfrac18\\ &{}-\dfrac1{16}-\dfrac1{32}+\dfrac1{64}\\ &{}-\dfrac1{128}-\cdots, \end{aligned}$ let $S$ be the (limiting) sum. Then $S$ equals:

$0$

$\dfrac27$

$\dfrac67$

$\dfrac9{32}$

$\dfrac{27}{32}$

Respuesta: B

Conceptos:sucesión geométrica emparejamiento y agrupación sumatoria

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Agrupa los términos en bloques consecutivos de tres

Group the terms in consecutive blocks of three

Pista grande:

Cada bloque es $\frac{1}{8}$ del bloque anterior

Each block is $\frac{1}{8}$ times the preceding block

Solución:

Agrupa la serie como $\begin{aligned} S={}&\left(1-\frac12-\frac14\right)\\ &+\left(\frac18-\frac1{16}-\frac1{32}\right) +\cdots. \end{aligned}$ El primer bloque es $\frac{1}{4},$ y los bloques sucesivos forman una serie geométrica de razón $\frac{1}{8}.$ Por lo tanto, $S=\frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{8}}=\frac27.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Group the series as $\begin{aligned} S={}&\left(1-\frac12-\frac14\right)\\ &+\left(\frac18-\frac1{16}-\frac1{32}\right) +\cdots. \end{aligned}$ The first block is $\frac{1}{4},$ and successive blocks form a geometric series with ratio $\frac{1}{8}.$ Hence $S=\frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{8}}=\frac27.$

Therefore, the correct answer is B.

1959 AMC 12 Problema 49

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 49 en otros años