Question

从一个直角三角形的两个锐角顶点所作的中线长分别为 $5$ 和 $\sqrt{40}$ 。斜边长为：

The medians of a right triangle which are drawn from the vertices of the acute angles are $5$ and $\sqrt{40}.$ The value of the hypotenuse is:

$10$

$2\sqrt{40}$

$\sqrt{13}$

$2\sqrt{13}$

以上答案均不正确

None of these

答案：D

知识点：中线（几何）直角三角形方程组

难度评级：1930

小提示：

设两条直角边为 $a,b$ ，并将直角置于二者的公共端点

Let the legs be $a,b$ and place the right angle at their common endpoint

大提示：

由两条中线的长度可得 $a^2+\frac{b^2}{4}=25$ 和 $\frac{a^2}{4}+b^2=40$

The two median lengths give $a^2+\frac{b^2}{4}=25$ and $\frac{a^2}{4}+b^2=40$

解答：

设两条直角边为 $a,b$ 。从其相对的锐角顶点所作中线的长度平方满足 $a^2+\frac{b^2}{4}=25,\qquad \frac{a^2}{4}+b^2=40\text{。}$ 解得 $a^2=16$ 和 $b^2=36$ 。因此，斜边 $c$ 满足 $c^2=a^2+b^2=52\text{，}$ 所以 $c=2\sqrt{13}$ 。

因此，正确答案是 D。

Let the legs be $a,b.$ The medians from their opposite acute vertices have squared lengths $a^2+\frac{b^2}{4}=25,\qquad \frac{a^2}{4}+b^2=40.$ Solving gives $a^2=16$ and $b^2=36.$ Thus the hypotenuse $c$ satisfies $c^2=a^2+b^2=52,$ so $c=2\sqrt{13}.$

Thus, the correct answer is D.

1951 AMC 12 第 49 题

答案：D

难度评级：1930

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 49 题