Question

两个奇数的平方差总能被 $8$ 整除。若 $a>b$ ，且 $2a+1$ 与 $2b+1$ 是这两个奇数，为证明这一命题，应将平方差写成：

The difference of the squares of two odd numbers is always divisible by $8.$ If $a>b,$ and $2a+1$ and $2b+1$ are the odd numbers, to prove the given statement we put the difference of the squares in the form:

$(2a+1)^2-(2b+1)^2$

$4a^2-4b^2+4a-4b$

$4[a(a+1)-b(b+1)]$

$4(a-b)(a+b+1)$

$4(a^2+a-b^2-b)$

答案：C

知识点：整除性奇偶性因式分解

难度评级：1590

小提示：

展开两个平方，并将每个变量与它的后继整数配成一组

Expand the two squares and group each variable with its successor

大提示：

乘积 $a(a+1)$ 与 $b(b+1)$ 都是偶数

Each product $a(a+1)$ and $b(b+1)$ is even

解答：

展开并重新分组， $\begin{aligned} &(2a+1)^2-(2b+1)^2\\ &\qquad=4[a(a+1)-b(b+1)] \end{aligned}\text{。}$ $a(a+1)$ 和 $b(b+1)$ 都是偶数，所以两者之差也是偶数。因此所示表达式能被 $4\cdot2=8$ 整除。

因此，正确答案是 C。

Expanding and regrouping, $\begin{aligned} &(2a+1)^2-(2b+1)^2\\ &\qquad=4[a(a+1)-b(b+1)]. \end{aligned}$ Each of $a(a+1)$ and $b(b+1)$ is even, so their difference is even. The displayed expression is consequently divisible by $4\cdot2=8.$

Thus, the correct answer is C.

1954 AMC 12 第 49 题

答案：C

难度评级：1590

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 49 题