Question

三角形 $PAB$ 由圆 $O$ 的三条切线围成，且 $\angle APB=40^\circ$ ；则角 $AOB$ 等于：

Triangle $PAB$ is formed by three tangents to circle $O$ and $\angle APB=40^\circ;$ then angle $AOB$ equals:

$45^\circ$

$50^\circ$

$55^\circ$

$60^\circ$

$70^\circ$

答案：E

知识点：excircle angle bisectors triangle angles

难度评级：2030

小提示：

该圆与三角形 $PAB$ 的一条边以及另外两条边的延长线相切，所以 $O$ 是 $P$ 所对的旁心

The circle is tangent to one side of triangle $PAB$ and the extensions of the other two, so $O$ is the excenter opposite $P$

大提示：

$A$ 与 $B$ 处的外角平分线所成的角为 $90^\circ-\frac12\angle P$

The external angle bisectors at $A$ and $B$ form an angle of $90^\circ-\frac12\angle P$

解答：

圆位于边 $AB$ 的另一侧，与顶点 $P$ 相对，所以 $O$ 是 $P$ 所对的旁心。因此， $AO$ 和 $BO$ 分别平分 $A$ 与 $B$ 处的外角。若 $A$ 与 $B$ 处的内角分别为 $\alpha$ 和 $\beta$ ，则三角形 $AOB$ 在 $A$ 与 $B$ 处的角分别为 $90^\circ-\frac{\alpha}{2}$ 和 $90^\circ-\frac{\beta}{2}$ 。因此 $\begin{aligned} \angle AOB &=180^\circ-\left(90^\circ-\frac\alpha2\right)\\ &\mathrel{\phantom{=}}-\left(90^\circ-\frac\beta2\right)\\ &=\frac{\alpha+\beta}{2} =\frac{180^\circ-40^\circ}{2}\\ &=70^\circ \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 E。

The circle lies opposite $P$ across side $AB,$ so $O$ is the excenter opposite $P.$ Thus $AO$ and $BO$ bisect the exterior angles at $A$ and $B.$ If the interior angles at $A$ and $B$ are $\alpha$ and $\beta,$ then triangle $AOB$ has angles $90^\circ-\frac{\alpha}{2}$ and $90^\circ-\frac{\beta}{2}$ at $A$ and $B.$ Hence $\begin{aligned} \angle AOB &=180^\circ-\left(90^\circ-\frac\alpha2\right)\\ &\mathrel{\phantom{=}}-\left(90^\circ-\frac\beta2\right)\\ &=\frac{\alpha+\beta}{2} =\frac{180^\circ-40^\circ}{2}\\ &=70^\circ. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is E.

1956 AMC 12 第 49 题

答案：E

难度评级：2030

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 49 题