Question

在三角形 $ABC$ 中， $CA=CB$ 。以 $CB$ 为边，在三角形外部作正方形 $BCDE$ 。若角 $DAB$ 的度数为 $x$ ，则

In triangle $ABC,$ $CA=CB.$ On $CB$ square $BCDE$ is constructed away from the triangle. If $x$ is the number of degrees in angle $DAB,$ then

$x$ 取决于三角形 $ABC$

$x$ depends upon triangle $ABC$

$x$ 与该三角形无关

$x$ is independent of the triangle

$x$ 可能等于角 $CAD$

$x$ may equal angle $CAD$

$x$ 绝不可能等于角 $CAB$

$x$ can never equal angle $CAB$

$x$ 大于 $45^\circ$ 但小于 $90^\circ$

$x$ is greater than $45^\circ$ but less than $90^\circ$

答案：B

知识点：等腰三角形 square construction 坐标几何

难度评级：2070

小提示：

将 $CA=CB$ 缩放为 $1$ ，并令 $C=(0,0)$ 、 $B=(1,0)$ 、 $A=(\cos\theta,\sin\theta)$

Scale $CA=CB$ to $1,$ and place $C=(0,0),$ $B=(1,0),$ $A=(\cos\theta,\sin\theta)$

大提示：

因正方形在三角形外部，取 $D=(0,-1)$ ，并比较向量 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{AD}$

Because the square is outside the triangle, take $D=(0,-1)$ and compare vectors $\overrightarrow{AB}$ and $\overrightarrow{AD}$

解答：

将两条相等的边缩放为 $1$ ，并令 $\begin{aligned} C&=(0,0),\qquad B=(1,0),\\ A&=(\cos\theta,\sin\theta) \end{aligned}\text{。}$ 因为正方形 $BCDE$ 作在三角形外部，所以 $D=(0,-1)$ 。令 $c=\cos\theta$ 且 $s=\sin\theta$ 。则 $\begin{aligned} \overrightarrow{AB}&=(1-c,-s),\\ \overrightarrow{AD}&=(-c,-1-s) \end{aligned}\text{。}$ 两个向量的点积为 $1+s-c$ ，二维叉积的绝对值也为 $1+s-c$ 。因此 $\tan\angle DAB=1\text{，}$ 所以 $\angle DAB=45^\circ$ ，它与 $\theta$ 无关，因而也与三角形的形状无关。

因此，正确答案是 B。

Scale the equal sides to $1$ and place $\begin{aligned} C&=(0,0),\qquad B=(1,0),\\ A&=(\cos\theta,\sin\theta). \end{aligned}$ Since square $BCDE$ is constructed away from the triangle, $D=(0,-1).$ Put $c=\cos\theta$ and $s=\sin\theta.$ Then $\begin{aligned} \overrightarrow{AB}&=(1-c,-s),\\ \overrightarrow{AD}&=(-c,-1-s). \end{aligned}$ Their dot product is $1+s-c,$ while the absolute value of their two-dimensional cross product is also $1+s-c.$ Therefore $\tan\angle DAB=1,$ so $\angle DAB=45^\circ,$ independent of $\theta$ and hence independent of the triangle’s shape.

Thus, the correct answer is B.

1956 AMC 12 第 50 题

答案：B

难度评级：2070

小提示：

大提示：

解答：

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