Question

一条初始长度为 $1$ 英寸的线段按下列规律增长，其中第一项为初始长度。 $\begin{gathered} 1+\frac14\sqrt2+\frac14+\frac1{16}\sqrt2\\ {}+\frac1{16}+\frac1{64}\sqrt2+\frac1{64}+\cdots \end{gathered}\text{。}$ 若增长过程无限继续，线段长度的极限为：

A line initially $1$ inch long grows according to the following law, where the first term is the initial length. $\begin{gathered} 1+\frac14\sqrt2+\frac14+\frac1{16}\sqrt2\\ {}+\frac1{16}+\frac1{64}\sqrt2+\frac1{64}+\cdots. \end{gathered}$ If the growth process continues forever, the limit of the length of the line is:

$\infty$

$\dfrac43$

$\dfrac38$

$\dfrac13(4+\sqrt2)$

$\dfrac23(4+\sqrt2)$

答案：D

知识点：等比数列求和根式

难度评级：1640

小提示：

将含有相同 $\frac{1}{4}$ 的幂的每一对项分为一组

Group each pair having the same power of $\frac{1}{4}$

大提示：

初始项 $1$ 之后的各项之和等于 $(1+\sqrt2)\sum_{k=1}^{\infty}4^{-k}$

The terms after the initial $1$ equal $(1+\sqrt2)\sum_{k=1}^{\infty}4^{-k}$

解答：

在初始项之后，每个幂 $4^{-k}$ 分别单独出现一次，并乘以 $\sqrt2$ 出现一次。因为 $\sum_{k=1}^{\infty}4^{-k}=\frac{1}{3}$ ，所以极限为 $1+\frac{1+\sqrt2}{3}=\frac{4+\sqrt2}{3}\text{。}$

因此，正确答案是 D。

After the initial term, each power $4^{-k}$ appears once by itself and once multiplied by $\sqrt2.$ Since $\sum_{k=1}^{\infty}4^{-k}=\frac{1}{3},$ the limit is $1+\frac{1+\sqrt2}{3}=\frac{4+\sqrt2}{3}.$

Thus, the correct answer is D.

1952 AMC 12 第 50 题

答案：D

难度评级：1640

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 50 题