Question

在图中， $CD$ 、 $AE$ 和 $BF$ 分别是所在边长的三分之一。由此可得 $AN_2:N_2N_1:N_1D=3:3:1$ ，直线 $BE$ 与 $CF$ 上也有类似关系。则三角形 $N_1N_2N_3$ 的面积为：

In the figure, $CD,$ $AE,$ and $BF$ are one-third of their respective sides. It follows that $AN_2:N_2N_1:N_1D=3:3:1,$ and similarly for lines $BE$ and $CF.$ Then the area of triangle $N_1N_2N_3$ is:

$\dfrac1{10}\triangle ABC$

$\dfrac19\triangle ABC$

$\dfrac17\triangle ABC$

$\dfrac16\triangle ABC$

以上答案均不正确

None of these

答案：C

知识点：坐标几何面积比

难度评级：2380

小提示：

面积比在仿射变换下不变，所以可为三角形 $ABC$ 选取方便的坐标

Area ratios are affine-invariant, so choose convenient coordinates for triangle $ABC$

大提示：

由三分之一条件确定 $D,E,F$ ，求三条塞瓦线的交点，再用行列式比较两个面积

Locate $D,E,F$ by the one-third conditions, intersect the three cevians, and compare the two areas with determinants

解答：

取 $A=(0,1)$ 、 $B=(0,0)$ 、 $C=(1,0)$ 。则 $\begin{aligned} D&=\left(\frac23,0\right),\\ E&=\left(\frac13,\frac23\right),\\ F&=\left(0,\frac13\right) \end{aligned}\text{。}$ 分别求 $AD,BE,CF$ 两两相交的交点，得到 $\begin{aligned} N_1&=\left(\frac47,\frac17\right),\\ N_2&=\left(\frac27,\frac47\right),\\ N_3&=\left(\frac17,\frac27\right) \end{aligned}\text{。}$ 行列式面积公式给出 $\begin{aligned} [N_1N_2N_3]&=\frac1{14},\\ [ABC]&=\frac12 \end{aligned}\text{。}$ 因此 $\frac{[N_1N_2N_3]}{[ABC]}=\frac{1}{7}$ 。

因此，正确答案是 C。

Use $A=(0,1),$ $B=(0,0),$ $C=(1,0).$ Then $\begin{aligned} D&=\left(\frac23,0\right),\\ E&=\left(\frac13,\frac23\right),\\ F&=\left(0,\frac13\right). \end{aligned}$ Intersecting $AD,BE,CF$ in pairs gives $\begin{aligned} N_1&=\left(\frac47,\frac17\right),\\ N_2&=\left(\frac27,\frac47\right),\\ N_3&=\left(\frac17,\frac27\right). \end{aligned}$ The determinant area formula gives $\begin{aligned} [N_1N_2N_3]&=\frac1{14},\\ [ABC]&=\frac12. \end{aligned}$ Hence $\frac{[N_1N_2N_3]}{[ABC]}=\frac{1}{7}.$

Thus, the correct answer is C.

1952 AMC 12 第 49 题

答案：C

难度评级：2380

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 49 题