Question

$A$ 、 $B$ 和 $C$ 的坐标分别为 $(5,5)$ 、 $(2,1)$ 和 $(0,k)$ 。使 $\overline{AC}+\overline{BC}$ 尽可能小的 $k$ 值为：

The coordinates of $A,$ $B$ and $C$ are $(5,5),$ $(2,1)$ and $(0,k)$ respectively. The value of $k$ that makes $\overline{AC}+\overline{BC}$ as small as possible is:

$3$

$4\dfrac12$

$3\dfrac67$

$4\dfrac56$

$2\dfrac17$

答案：E

知识点：reflection shortest path 坐标几何

难度评级：1910

小提示：

将 $B$ 关于 $y$ 轴反射，使 $BC$ 等于 $C$ 到反射点的距离

Reflect $B$ across the $y$ -axis so that $BC$ becomes the distance from $C$ to the reflected point

大提示：

从 $A$ 到反射点的直线与 $y$ 轴相交之处，使折线路径最短

The shortest broken path occurs where the straight line from $A$ to the reflected point meets the $y$ -axis

解答：

将 $B=(2,1)$ 关于 $y$ 轴反射到 $B'=(-2,1)$ 。对于位于 $y$ 轴上的 $C$ ，有 $BC=B'C$ ，所以当 $A,C,B'$ 共线时， $AC+BC$ 最小。从 $A=(5,5)$ 到 $B'=(-2,1)$ 的直线斜率为 $\frac{4}{7}$ 。当 $x=0$ 时，其纵坐标为 $5-\frac47(5)=\frac{15}{7}=2\frac17\text{。}$ 因此 $k=\frac{15}{7}$ 。

因此，正确答案是 E。

Reflect $B=(2,1)$ across the $y$ -axis to $B'=(-2,1).$ For $C$ on the $y$ -axis, $BC=B'C,$ so $AC+BC$ is minimized when $A,C,B'$ are collinear. The line from $A=(5,5)$ to $B'=(-2,1)$ has slope $\frac{4}{7}.$ At $x=0,$ its height is $5-\frac47(5)=\frac{15}{7}=2\frac17.$ Hence $k=\frac{15}{7}.$

Thus, the correct answer is E.

1953 AMC 12 第 49 题

答案：E

难度评级：1910

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 49 题