Question

一个三角形有一条固定底边 $AB$ ，长为 $2$ 英寸。从 $A$ 到边 $BC$ 的中线长为 $1\dfrac12$ 英寸，并可从 $A$ 向任意方向引出。顶点 $C$ 的轨迹为：

A triangle has a fixed base $AB$ that is $2$ inches long. The median from $A$ to side $BC$ is $1\dfrac12$ inches long and can have any position emanating from $A.$ The locus of the vertex $C$ of the triangle is:

一条直线 $AB$ ，距 $A$ 为 $1\dfrac12$ 英寸

A straight line $AB,$ $1\dfrac12$ inches from $A$

以 $A$ 为圆心、半径为 $2$ 英寸的圆

A circle with $A$ as center and radius $2$ inches

以 $A$ 为圆心、半径为 $3$ 英寸的圆

A circle with $A$ as center and radius $3$ inches

半径为 $3$ 英寸，圆心位于射线 $BA$ 上且距 $B$ 为 $4$ 英寸的圆

A circle with radius $3$ inches and center $4$ inches from $B$ along $BA$

以 $A$ 为焦点的椭圆

An ellipse with $A$ as focus

答案：D

知识点：中线（几何）圆变换

难度评级：2170

小提示：

设 $M$ 为 $BC$ 的中点，则 $M$ 在以 $A$ 为圆心的圆上运动

Let $M$ be the midpoint of $BC$ ; then $M$ moves on a circle centered at $A$

大提示：

以 $A$ 为原点时，中点关系的向量形式为 $\vec C=2\vec M-\vec B$

In vector form, the midpoint relation gives $\vec C=2\vec M-\vec B$ when $A$ is the origin

解答：

将 $A$ 置于原点，并把 $B$ 、 $C$ 以及 $BC$ 的中点 $M$ 看作向量。由于 $AM=\tfrac32$ ，点 $M$ 在以 $A$ 为圆心、半径为 $\tfrac32$ 的圆上运动。中点关系给出 $C=2M-B\text{。}$ 因此， $C$ 的轨迹是先将该圆放大 $2$ 倍，再平移 $-B$ 所得的图形，即以 $-B$ 为圆心、半径为 $3$ 的圆。

因为 $AB=2$ ，点 $-B$ 位于射线 $BA$ 上，且距 $B$ 为 $4$ 英寸。因此，正确答案是 D。

Put $A$ at the origin and regard $B,$ $C,$ and the midpoint $M$ of $BC$ as vectors. Since $AM=\tfrac32,$ the point $M$ moves on a circle of radius $\tfrac32$ centered at $A.$ The midpoint relation gives $C=2M-B.$ Thus the locus of $C$ is the image of that circle under a dilation by $2$ followed by translation by $-B.$ It is a circle of radius $3$ centered at $-B.$

Because $AB=2,$ the point $-B$ is $4$ inches from $B$ along the ray $BA.$ Hence the correct answer is D.

1950 AMC 12 第 49 题

答案：D

难度评级：2170

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 49 题