1950 AMC 12 详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

若将 $64$ 按 $2$ 、 $4$ 和 $6$ 的比例分成三部分，则最小的一部分是：

If $64$ is divided into three parts proportional to $2,$ $4,$ and $6,$ the smallest part is:

$5\dfrac{1}{3}$

$11$

$10\dfrac{2}{3}$

$5$

以上答案均不正确

None of these answers

知识点：比与比例分数

难度评级：840

小提示：

将比例中的三个数相加，求出总份数

Add the three numbers in the ratio to find the total number of equal shares

大提示：

最小的一部分是 $64$ 的 $\dfrac{2}{2+4+6}$

The smallest part is $\dfrac{2}{2+4+6}$ of $64$

解答：

这个比共有 $2+4+6=12$ 个等份。因此，最小的一部分为 $64\left(\frac{2}{12}\right)=\frac{32}{3}=10\frac{2}{3}\text{。}$

因此，正确答案是 C。

The ratio contains $2+4+6=12$ equal shares. The smallest part is therefore $64\left(\frac{2}{12}\right)=\frac{32}{3}=10\frac{2}{3}.$

Thus, the correct answer is C.

2.

设 $R=gS-4$ 。当 $S=8$ 时， $R=16$ ；当 $S=10$ 时， $R$ 等于：

Let $R=gS-4.$ When $S=8,$ $R=16.$ When $S=10,$ $R$ is equal to:

$11$

$14$

$20$

$21$

以上答案均不正确

None of these answers

知识点：一次方程换元法

难度评级：870

小提示：

先代入已知的 $R$ 和 $S$ ，求出 $g$

First substitute the given values of $R$ and $S$ to determine $g$

大提示：

第一组数值给出 $16=8g-4$

The first pair gives $16=8g-4$

解答：

代入 $S=8$ 和 $R=16$ ，得到 $16=8g-4$ ，所以 $g=\tfrac52$ 。因此，当 $S=10$ 时， $R=\frac52(10)-4=21\text{。}$

因此，正确答案是 D。

Substituting $S=8$ and $R=16$ gives $16=8g-4,$ so $g=\tfrac52.$ Hence, when $S=10,$ $R=\frac52(10)-4=21.$

Thus, the correct answer is D.

3.

方程 $4x^2+5-8x=0$ 的两根之和等于：

The sum of the roots of the equation $4x^2+5-8x=0$ is equal to:

$8$

$-5$

$-\dfrac54$

$-2$

以上答案均不正确

None of these answers

知识点：韦达定理二次方程

难度评级：1500

小提示：

将方程按 $x$ 的降幂排列

Rewrite the equation in descending powers of $x$

大提示：

对于 $ax^2+bx+c=0$ ，两根之和为 $-\frac{b}{a}$

For $ax^2+bx+c=0,$ the sum of the roots is $-\frac{b}{a}$

解答：

方程的标准形式为 $4x^2-8x+5=0$ 。由韦达定理，两根之和为 $-\frac{-8}{4}=2\text{。}$ 这个值不在选项 A 至 D 中。

因此，正确答案是 E。

In standard form the equation is $4x^2-8x+5=0.$ By Vieta’s formulas, the sum of its roots is $-\frac{-8}{4}=2.$ This value is not among choices A through D.

Thus, the correct answer is E.

4.

化为最简式后， $\frac{a^2-b^2}{ab}-\frac{ab-b^2}{ab-a^2}$ 等于：

Reduced to lowest terms, $\frac{a^2-b^2}{ab}-\frac{ab-b^2}{ab-a^2}$ is equal to:

$\dfrac{a}{b}$

$\dfrac{a^2-2b^2}{ab}$

$a^2$

$a-2b$

以上答案均不正确

None of these answers

知识点：代数变形平方差

难度评级：1600

小提示：

分别因式分解 $a^2-b^2$ 、 $ab-b^2$ 和 $ab-a^2$

Factor $a^2-b^2,$ $ab-b^2,$ and $ab-a^2$

大提示：

第二个分式可化简为 $-\frac{b}{a}$

The second fraction simplifies to $-\frac{b}{a}$

解答：

将各个分子和分母因式分解，得到 $\begin{aligned} &\frac{a^2-b^2}{ab} -\frac{ab-b^2}{ab-a^2}\\ &=\left(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right)\\ &\quad-\frac{b(a-b)}{a(b-a)}\\ &=\frac{a}{b}-\frac{b}{a} +\frac{b}{a}\\ &=\frac{a}{b} \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 A。

Factoring the numerators and denominator gives $\begin{aligned} &\frac{a^2-b^2}{ab} -\frac{ab-b^2}{ab-a^2}\\ &=\left(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right)\\ &\quad-\frac{b(a-b)}{a(b-a)}\\ &=\frac{a}{b}-\frac{b}{a} +\frac{b}{a}\\ &=\frac{a}{b}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is A.

5.

在 $8$ 和 $5832$ 之间插入五个等比中项后，所得等比数列的第五项是：

If five geometric means are inserted between $8$ and $5832,$ the fifth term in the geometric series is:

$648$

$832$

$1168$

$1944$

以上答案均不正确

None of these answers

知识点：等比数列指数

难度评级：1670

小提示：

插入五个等比中项后，两个已知数分别是第一项和第七项

Inserting five means makes the given numbers the first and seventh terms

大提示：

若公比为 $q$ ，则 $8q^6=5832$

If the common ratio is $q,$ then $8q^6=5832$

解答：

从第一项 $8$ 到第七项 $5832$ 需要连续乘六次公比。因此， $q^6=\frac{5832}{8}=729=3^6\text{，}$ 所以正公比为 $q=3$ 。第五项是 $8q^4=8\cdot3^4=648\text{。}$

因此，正确答案是 A。

There are six common-ratio steps from the first term $8$ to the seventh term $5832.$ Thus $q^6=\frac{5832}{8}=729=3^6,$ so the positive common ratio is $q=3.$ The fifth term is $8q^4=8\cdot3^4=648.$

Thus, the correct answer is A.

6.

满足下列方程组的 $y$ 值

$\begin{aligned} 2x^2+6x+5y+1&=0,\\ 2x+y+3&=0 \end{aligned}$

可以通过求解下列方程得到：

The values of $y$ which will satisfy the equations

$\begin{aligned} 2x^2+6x+5y+1&=0,\\ 2x+y+3&=0 \end{aligned}$

may be found by solving:

$y^2+14y-7=0$

$y^2+8y+1=0$

$y^2+10y-7=0$

$y^2+y-12=0$

以上方程均不正确

None of the above equations

知识点：方程组换元法二次方程

难度评级：1640

小提示：

将线性方程中的 $x$ 用 $y$ 表示

Solve the linear equation for $x$ in terms of $y$

大提示：

将 $x=-\frac{(y+3)}{2}$ 代入第一个方程，再消去分母

Substitute $x=-\frac{(y+3)}{2}$ into the first equation and clear the denominator

解答：

由第二个方程可得 $x=-\tfrac{y+3}{2}$ 。将其代入第一个方程并乘以 $2$ ，得到 $\begin{aligned} &(y+3)^2-6(y+3)\\ &\quad+10y+2=0,\\ &y^2+10y-7=0 \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 C。

From the second equation, $x=-\tfrac{y+3}{2}.$ Substituting into the first equation and multiplying by $2$ gives $\begin{aligned} &(y+3)^2-6(y+3)\\ &\quad+10y+2=0,\\ &y^2+10y-7=0. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

7.

若在一个两位数后添上数字 $1$ ，这个两位数的十位数字为 $t$ ，个位数字为 $u$ ，则新数为：

If the digit $1$ is placed after a two digit number whose tens’ digit is $t,$ and units’ digit is $u,$ the new number is:

$10t+u+1$

$100t+10u+1$

$1000t+10u+1$

$t+u+1$

以上答案均不正确

None of these answers

知识点：位值数字

难度评级：770

小提示：

原来的两位数是 $10t+u$

The original two digit number is $10t+u$

大提示：

在末尾添上一位数字，要先将原数乘以 $10$ ，再加上该数字

Appending a digit multiplies the original number by $10$ before adding that digit

解答：

这个两位数是 $10t+u$ 。在它后面添上 $1$ ，得到 $\begin{aligned} &10(10t+u)+1\\ &=100t+10u+1 \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 B。

The two digit number is $10t+u.$ Placing $1$ after it produces $\begin{aligned} &10(10t+u)+1\\ &=100t+10u+1. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.

8.

若圆的半径增加 $100\%$ ，则面积增加：

If the radius of a circle is increased $100\%,$ the area is increased:

$100\%$

$200\%$

$300\%$

$400\%$

以上各项均不是

By none of these

知识点：圆面积百分数长度、面积与体积的缩放关系

难度评级：1220

小提示：

增加 $100\%$ 意味着半径变为原来的两倍

An increase of $100\%$ doubles the radius

大提示：

圆的面积与半径的平方成正比

Circle area is proportional to the square of the radius

解答：

将 $r$ 增加 $100\%$ 后，半径变为 $2r$ 。面积从 $\pi r^2$ 变为 $\pi(2r)^2=4\pi r^2$ ，增加了 $3\pi r^2$ ，即原面积的 $300\%$ 。

因此，正确答案是 C。

Increasing $r$ by $100\%$ changes it to $2r.$ The area changes from $\pi r^2$ to $\pi(2r)^2=4\pi r^2,$ an increase of $3\pi r^2.$ This is $300\%$ of the original area.

Thus, the correct answer is C.

9.

半径为 $r$ 的半圆内所能内接的最大三角形的面积为：

The area of the largest triangle that can be inscribed in a semicircle whose radius is $r$ is:

$r^2$

$r^3$

$2r^2$

$2r^3$

$\dfrac12r^2$

知识点：三角形面积圆最优化

难度评级：1600

小提示：

最长的底边是半圆的直径

The longest possible base is the diameter of the semicircle

大提示：

以直径为底边时，最大高等于半径

With the diameter as base, the greatest possible altitude is the radius

解答：

半圆内三角形的底边至多为直径 $2r$ ，高至多为 $r$ 。因此，其面积至多为 $\frac12(2r)(r)=r^2\text{。}$ 取直径为底边、半圆的最高点为第三个顶点时，可以达到这个上界。

因此，正确答案是 A。

A triangle in the semicircle has base at most the diameter $2r$ and altitude at most $r.$ Therefore its area is at most $\frac12(2r)(r)=r^2.$ This bound is attained by using the diameter as the base and the topmost point of the semicircle as the third vertex.

Thus, the correct answer is A.

10.

将 $\dfrac{\sqrt3-\sqrt2}{\sqrt3}$ 的分子有理化后，最简形式的分母为：

After rationalizing the numerator of $\dfrac{\sqrt3-\sqrt2}{\sqrt3},$ the denominator in simplest form is:

$\sqrt3(\sqrt3+\sqrt2)$

$\sqrt3(\sqrt3-\sqrt2)$

$3-\sqrt3\sqrt2$

$3+\sqrt6$

以上答案均不正确

None of these answers

知识点：分母有理化根式

难度评级：1530

小提示：

分子、分母同乘原分子的共轭式

Multiply the numerator and denominator by the conjugate of the numerator

大提示：

分子变为 $(\sqrt3-\sqrt2)(\sqrt3+\sqrt2)=1$

The numerator becomes $(\sqrt3-\sqrt2)(\sqrt3+\sqrt2)=1$

解答：

分子、分母同乘原分子的共轭式，得到 $\begin{aligned} &\frac{\sqrt3-\sqrt2}{\sqrt3} \cdot\frac{\sqrt3+\sqrt2}{\sqrt3+\sqrt2}\\ &=\frac{1}{\sqrt3(\sqrt3+\sqrt2)}\\ &=\frac{1}{3+\sqrt6} \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 D。

Multiplying by the conjugate of the numerator gives $\begin{aligned} &\frac{\sqrt3-\sqrt2}{\sqrt3} \cdot\frac{\sqrt3+\sqrt2}{\sqrt3+\sqrt2}\\ &=\frac{1}{\sqrt3(\sqrt3+\sqrt2)}\\ &=\frac{1}{3+\sqrt6}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is D.

11.

在公式 $C=\dfrac{en}{R+nr}$ 中，若增大 $n$ ，而保持 $e$ 、 $R$ 和 $r$ 不变，则 $C$ ：

If in the formula $C=\dfrac{en}{R+nr},$ $n$ is increased while $e,$ $R,$ and $r$ are kept constant, then $C:$

减小

Decreases

增大

Increases

保持不变

Remains constant

先增大后减小

Increases and then decreases

先减小后增大

Decreases and then increases

知识点：函数代数变形

难度评级：1580

小提示：

分子、分母同除以 $n$

Divide the numerator and denominator by $n$

大提示：

当正数 $n$ 增大时， $\frac{R}{n}$ 减小

As positive $n$ grows, $\frac{R}{n}$ decreases

解答：

将公式改写为 $C=\frac{e}{\frac{R}{n}+r}\text{。}$ 当正数 $n$ 增大时， $\frac{R}{n}$ 减小，所以正分母减小，而分子保持不变。因此， $C$ 增大。

因此，正确答案是 B。

Rewrite the formula as $C=\frac{e}{\frac{R}{n}+r}.$ As positive $n$ increases, $\frac{R}{n}$ decreases, so the positive denominator decreases while the numerator remains fixed. Therefore $C$ increases.

Thus, the correct answer is B.

12.

当多边形的边数从 $3$ 增加到 $n$ 时，依次延长各边所形成的外角之和：

As the number of sides of a polygon increases from $3$ to $n,$ the sum of the exterior angles formed by extending each side in succession:

增大

Increases

减小

Decreases

保持不变

Remains constant

无法确定

Cannot be predicted

变为 $(n-3)$ 个平角

Becomes $(n-3)$ straight angles

知识点：角度和

难度评级：1310

小提示：

想象沿多边形的边界走一周

Imagine walking once around the boundary of the polygon

大提示：

所有外角合起来表示完整转一周

The exterior angles record one complete turn

解答：

沿多边形走一周，并在每个顶点转过相应的外角，恰好完成一整圈。因此，无论边数多少，外角和始终为 $360^\circ$ 。

因此，正确答案是 C。

Traversing the polygon and turning through each exterior angle makes one complete turn. Hence the sum is always $360^\circ,$ independent of the number of sides.

Thus, the correct answer is C.

13.

方程 $(x^2-3x+2)(x)(x-4)=0$ 的根为：

The roots of $(x^2-3x+2)(x)(x-4)=0$ are:

$4$

$0$ 和 $4$

$0$ and $4$

$1$ 和 $2$

$1$ and $2$

$0$ 、 $1$ 、 $2$ 和 $4$

$0,$ $1,$ $2,$ and $4$

$1$ 、 $2$ 和 $4$

$1,$ $2,$ and $4$

知识点：因式分解零积性质二次方程

难度评级：1410

小提示：

将二次因式分解

Factor the quadratic factor

大提示：

乘积为零时，至少有一个因式为零

A product is zero when at least one of its factors is zero

解答：

由于 $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$ ，原方程化为 $(x-1)(x-2)x(x-4)=0\text{。}$ 它的根为 $0$ 、 $1$ 、 $2$ 和 $4$ 。

因此，正确答案是 D。

Since $x^2-3x+2=(x-1)(x-2),$ the equation becomes $(x-1)(x-2)x(x-4)=0.$ Its roots are $0,$ $1,$ $2,$ and $4.$

Thus, the correct answer is D.

14.

对于方程组

$\begin{aligned} 2x-3y&=8,\\ 6y-4x&=9\text{，} \end{aligned}$

For the simultaneous equations

$\begin{aligned} 2x-3y&=8,\\ 6y-4x&=9, \end{aligned}$

$x=4,$ $y=0$

$x=0,$ $y=\dfrac32$

$x=0,$ $y=0$

无解

There is no solution

有无穷多个解

There are an infinite number of solutions

知识点：方程组一次方程

难度评级：1510

小提示：

比较第二个方程的左边与第一个方程的左边

Compare the left side of the second equation with the left side of the first

大提示：

若将第一个方程乘以 $-2$ ，则第二个方程的右边应为 $-16$

Multiplying the first equation by $-2$ would require the second right side to be $-16$

解答：

第二个方程的左边是 $-2(2x-3y)$ 。若第一个方程成立，这个式子必须等于 $-2\cdot8=-16$ ，但第二个方程却规定它等于 $9$ 。这个矛盾说明不存在同时满足两个方程的有序数对。

因此，正确答案是 D。

The left side of the second equation is $-2(2x-3y).$ If the first equation holds, that expression must equal $-2\cdot8=-16,$ but the second equation says it equals $9.$ This contradiction means that no ordered pair satisfies both equations.

Thus, the correct answer is D.

15.

在实数范围内， $x^2+4$ 的因式为：

The real factors of $x^2+4$ are:

$(x^2+2)(x^2+2)$

$(x^2+2)(x^2-2)$

$x^2(x^2+4)$

$(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)$

不存在

Non-existent

知识点：因式分解复数二次方程

难度评级：1400

小提示：

一个实数一次因式对应一个实根

A real linear factor would correspond to a real root

大提示：

解 $x^2+4=0$ 需要满足 $x^2=-4$

Solving $x^2+4=0$ requires $x^2=-4$

解答：

若有实数一次因式，就会有实根。然而， $x^2+4=0$ 可推出 $x^2=-4$ ，它没有实数解。因此，这个多项式没有实数一次因式。

因此，正确答案是 E。

A real linear factor would give a real root. But $x^2+4=0$ implies $x^2=-4,$ which has no real solution. Therefore the polynomial has no real linear factors.

Thus, the correct answer is E.

16.

将 $\big[(a+3b)^2(a-3b)^2\big]^2$ 展开并合并同类项后，项数为：

The number of terms in the expansion of $\big[(a+3b)^2(a-3b)^2\big]^2$ when simplified is:

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

知识点：平方差二项式定理

难度评级：1580

小提示：

展开前，先将 $a+3b$ 与 $a-3b$ 相乘

Combine $a+3b$ and $a-3b$ before expanding

大提示：

原式可化简为 $(a^2-9b^2)^4$

The expression simplifies to $(a^2-9b^2)^4$

解答：

利用平方差公式， $\begin{aligned} &\big[(a+3b)^2(a-3b)^2\big]^2\\ &=\big[(a^2-9b^2)^2\big]^2\\ &=(a^2-9b^2)^4 \end{aligned}\text{。}$ 其二项式展开中，指数的每个取值 $0,1,2,3,4$ 都对应一个非零项，因此共有五项。

因此，正确答案是 B。

Using the difference of squares, $\begin{aligned} &\big[(a+3b)^2(a-3b)^2\big]^2\\ &=\big[(a^2-9b^2)^2\big]^2\\ &=(a^2-9b^2)^4. \end{aligned}$ Its binomial expansion has one nonzero term for each exponent choice $0,1,2,3,4,$ so it has five terms.

Thus, the correct answer is B.

17.

下表所示的 $x$ 与 $y$ 之间的关系式为：

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x&0&1&2&3&4\\ \hline y&100&90&70&40&0\\ \hline \end{array}$

The formula which expresses the relationship between $x$ and $y$ as shown in the accompanying table is:

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x&0&1&2&3&4\\ \hline y&100&90&70&40&0\\ \hline \end{array}$

$y=100-10x$

$y=100-5x^2$

$y=100-5x-5x^2$

$y=20-x-x^2$

以上答案均不正确

None of these

知识点：函数换元法二次方程

难度评级：1360

小提示：

将表中一个较小的非零值（如 $x=1$ ）代入各个备选公式

Substitute a small nonzero table value such as $x=1$ into each proposed formula

大提示：

再用 $x=2$ 或 $x=3$ 检验剩下的公式

Then verify the surviving formula with $x=2$ or $x=3$

解答：

当 $x=1$ 时，选项 A 和 C 均得到 $90$ ，而 B 得到 $95$ ，D 得到 $18$ 。再令 $x=2$ 检验剩下的两个选项：A 得到 $80$ ，而 C 得到 $100-5(2)-5(2^2)=70\text{，}$ 与表格相符。

因此，正确答案是 C。

At $x=1,$ choices A and C both give $90,$ while B gives $95$ and D gives $18.$ Testing the two survivors at $x=2,$ choice A gives $80,$ whereas choice C gives $100-5(2)-5(2^2)=70,$ matching the table.

Thus, the correct answer is C.

18.

下列各式中

$(1)\quad a(x-y)=ax-ay$

$(2)\quad a^{x-y}=a^x-a^y$

$(3)\quad \log(x-y)=\log x-\log y$

$(4)\quad \dfrac{\log x}{\log y}=\log x-\log y$

$(5)\quad a(xy)=ax\times ay$

Of the following

$(1)\quad a(x-y)=ax-ay$

$(2)\quad a^{x-y}=a^x-a^y$

$(3)\quad \log(x-y)=\log x-\log y$

$(4)\quad \dfrac{\log x}{\log y}=\log x-\log y$

$(5)\quad a(xy)=ax\times ay$

只有 $1$ 和 $4$ 正确

Only $1$ and $4$ are true

只有 $1$ 和 $5$ 正确

Only $1$ and $5$ are true

只有 $1$ 和 $3$ 正确

Only $1$ and $3$ are true

只有 $1$ 和 $2$ 正确

Only $1$ and $2$ are true

只有 $1$ 正确

Only $1$ is true

知识点：分配律指数对数

难度评级：1470

小提示：

将每个等式与指数和对数的标准运算法则比较

Compare each statement with the standard rules for exponents and logarithms

大提示：

特别注意，指数或对数内部的减法不能按题中方式分配

In particular, subtraction inside an exponent or logarithm does not distribute as written

解答：

等式 $1$ 是分配律。等式 $2$ 错误，因为 $a^{x-y}=\frac{a^x}{a^y}$ 。等式 $3$ 错误，因为 $\log x-\log y=\log(\frac{x}{y})$ 。等式 $4$ 把换底公式中的商误写成了差；等式 $5$ 的右边应化为 $a^2xy$ ，而不是 $axy$ 。

因此，只有等式 $1$ 正确，所以正确答案是 E。

Statement $1$ is the distributive property. Statement $2$ is false because $a^{x-y}=\frac{a^x}{a^y}.$ Statement $3$ is false because $\log x-\log y=\log(\frac{x}{y}).$ Statement $4$ confuses the change-of-base quotient with a difference, and statement $5$ has right side $a^2xy,$ not $axy.$

Thus, only statement $1$ is true, so the correct answer is E.

19.

若 $m$ 名工人可在 $d$ 天内完成一项工作，则 $m+r$ 名工人完成这项工作需要：

If $m$ men can do a job in $d$ days, then $m+r$ men can do the job in:

$d+r$ 天

$d+r$ days

$d-r$ 天

$d-r$ days

$\dfrac{md}{m+r}$ 天

$\dfrac{md}{m+r}$ days

$\dfrac{d}{m+r}$ 天

$\dfrac{d}{m+r}$ days

以上答案均不正确

None of these

知识点：速率比与比例

难度评级：1220

小提示：

用人日衡量总工作量

Measure the total job in man-days

大提示：

原来的工人共完成 $md$ 人日的工作

The original crew performs $md$ man-days of work

解答：

这项工作需要 $m\cdot d=md$ 人日。若 $m+r$ 名工人的个人效率相同，则所需天数为 $\frac{md}{m+r}\text{。}$

因此，正确答案是 C。

The job requires $m\cdot d=md$ man-days. With $m+r$ men working at the same individual rate, the required number of days is $\frac{md}{m+r}.$

Thus, the correct answer is C.

20.

用 $x-1$ 除 $x^{13}+1$ ，所得余数为：

When $x^{13}+1$ is divided by $x-1,$ the remainder is:

$1$

$-1$

$0$

$2$

以上答案均不正确

None of these answers

知识点：多项式换元法

难度评级：1520

小提示：

使用余式定理

Use the Remainder Theorem

大提示：

除以 $x-1$ 时，计算多项式在 $x=1$ 处的值

For division by $x-1,$ evaluate the polynomial at $x=1$

解答：

根据余式定理，除以 $x-1$ 所得的余数等于多项式在 $x=1$ 处的值，即 $1^{13}+1=2\text{。}$

因此，正确答案是 D。

By the Remainder Theorem, the remainder upon division by $x-1$ is the value of the polynomial at $x=1.$ This value is $1^{13}+1=2.$

Thus, the correct answer is D.

21.

一个长方体的侧面、正面和底面的面积分别为 $12$ 平方英寸、 $8$ 平方英寸和 $6$ 平方英寸，则其体积为：

The volume of a rectangular solid each of whose side, front, and bottom faces are $12$ square inches, $8$ square inches, and $6$ square inches respectively is:

$576$ 立方英寸

$576$ cubic inches

$24$ 立方英寸

$24$ cubic inches

$9$ 立方英寸

$9$ cubic inches

$104$ 立方英寸

$104$ cubic inches

以上答案均不正确

None of these

知识点：长方体体积面积

难度评级：1600

小提示：

设三条棱长分别为 $x$ 、 $y$ 和 $z$

Let the three edge lengths be $x,$ $y,$ and $z$

大提示：

三个面的面积相乘得到 $(xyz)^2$

Multiplying the three face areas gives $(xyz)^2$

解答：

若三条棱长分别为 $x$ 、 $y$ 和 $z$ ，则三个面的面积分别为 $xy$ 、 $yz$ 和 $xz$ 。因此， $\begin{aligned} (xyz)^2&=(xy)(yz)(xz)\\ &=12\cdot8\cdot6=576 \end{aligned}\text{。}$ 由于体积为正，所以 $xyz=\sqrt{576}=24$ 立方英寸。

因此，正确答案是 B。

If the edge lengths are $x,$ $y,$ and $z,$ then the three face areas are $xy,$ $yz,$ and $xz.$ Therefore $\begin{aligned} (xyz)^2&=(xy)(yz)(xz)\\ &=12\cdot8\cdot6=576. \end{aligned}$ Since the volume is positive, $xyz=\sqrt{576}=24$ cubic inches.

Thus, the correct answer is B.

22.

先后打 $10\%$ 和 $20\%$ 的折扣，相当于一次打：

Successive discounts of $10\%$ and $20\%$ are equivalent to a single discount of:

$30\%$

$15\%$

$72\%$

$28\%$

以上答案均不正确

None of these

知识点：百分数

难度评级：1100

小提示：

以原价 $100$ 为例，依次计算两次折扣

Apply both discounts to a price of $100$

大提示：

第一次折扣后，第二次折扣以 $90$ 而不是 $100$ 为基数

After the first discount, the second discount is taken from $90,$ not from $100$

解答：

从价格 $100$ 开始，第一次折扣后剩下 $90$ 。第二次折扣后剩下 $0.8(90)=72$ 。因此，总共减少了 $100-72=28$ ，即 $28\%$ 。

因此，正确答案是 D。

Starting from a price of $100,$ the first discount leaves $90.$ The second discount leaves $0.8(90)=72.$ The total reduction is therefore $100-72=28,$ or $28\%.$

Thus, the correct answer is D.

23.

某人花 $\$10{,}000$ 买下一栋房子并出租。他把每月租金的 $12\dfrac12\%$ 留作修缮和维护，每年缴税 $\$325$ ，并希望获得 $5\dfrac12\%$ 的投资回报率。每月租金为：

A man buys a house for $\$10{,}000$ and rents it. He puts $12\dfrac12\%$ of each month’s rent aside for repairs and upkeep; pays $\$325$ a year taxes and realizes $5\dfrac12\%$ on his investment. The monthly rent is:

$\$64.82$

$\$83.33$

$\$72.08$

$\$45.83$

$\$177.08$

知识点：钱币百分数一次方程

难度评级：1650

小提示：

设每月租金为 $r$ ，则全年租金为 $12r$

Let $r$ be the monthly rent and express the annual rent as $12r$

大提示：

扣除维护费和税款后，年收益必须是 $\$10,000$ 的 $5.5\%$

After upkeep and taxes, the annual return must be $5.5\%$ of $\$10,000$

解答：

设每月租金为 $r$ 美元。全年租金为 $12r$ ，留出维护费后剩下其中的 $1-0.125=\tfrac78$ 。期望的年收益为 $0.055(10,000)=550$ 美元，所以 $\frac78(12r)-325=550\text{。}$ 于是 $10.5r=875$ ，得到 $r=83.\overline3$ ，精确到美分为 $\$83.33$ 。

因此，正确答案是 B。

Let the monthly rent be $r$ dollars. The yearly rent is $12r,$ of which $1-0.125=\tfrac78$ remains after setting aside the upkeep money. The desired yearly return is $0.055(10,000)=550$ dollars, so $\frac78(12r)-325=550.$ Hence $10.5r=875,$ giving $r=83.\overline3,$ which is $\$83.33$ to the nearest cent.

Thus, the correct answer is B.

24.

方程 $x+\sqrt{x-2}=4$ 有：

The equation $x+\sqrt{x-2}=4$ has:

$2$ 个实根

$2$ real roots

$1$ 个实根和 $1$ 个虚根

$1$ real and $1$ imaginary root

$2$ 个虚根

$2$ imaginary roots

没有根

No roots

$1$ 个实根

$1$ real root

知识点：根式二次方程换元法

难度评级：1470

小提示：

平方前先将根式单独置于一边

Isolate the square root before squaring

大提示：

将所得二次方程的每个根代回原方程检验

Check every root of the resulting quadratic in the original equation

解答：

将根式单独置于一边并平方，得到 $\begin{aligned} \sqrt{x-2}&=4-x,\\ x-2&=(4-x)^2,\\ x^2-9x+18&=0 \end{aligned}\text{。}$ 所得二次方程的根为 $3$ 和 $6$ 。其中 $3$ 满足原方程，但将后者代回原方程得 $6+\sqrt4=8$ ，所以 $6$ 是增根。

因此，正确答案是 E。

Isolating and squaring gives $\begin{aligned} \sqrt{x-2}&=4-x,\\ x-2&=(4-x)^2,\\ x^2-9x+18&=0. \end{aligned}$ The quadratic roots are $3$ and $6.$ The value $3$ satisfies the original equation, but $6$ gives $6+\sqrt4=8,$ so it is extraneous.

Thus, the correct answer is E.

25.

$\log_5\dfrac{(125)(625)}{25}$ 的值等于：

The value of $\log_5\dfrac{(125)(625)}{25}$ is equal to:

$725$

$6$

$3125$

$5$

以上答案均不正确

None of these answers

知识点：对数指数

难度评级：1320

小提示：

将 $125$ 、 $625$ 和 $25$ 写成 $5$ 的幂

Write $125,$ $625,$ and $25$ as powers of $5$

大提示：

对数的真数可化简为 $5^{3+4-2}$

The logarithm’s argument simplifies to $5^{3+4-2}$

解答：

由于 $125=5^3$ 、 $625=5^4$ 且 $25=5^2$ ， $\begin{aligned} &\log_5\frac{(125)(625)}{25}\\ &=\log_5\left(5^{3+4-2}\right)\\ &=\log_5(5^5)=5 \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 D。

Since $125=5^3,$ $625=5^4,$ and $25=5^2,$ $\begin{aligned} &\log_5\frac{(125)(625)}{25}\\ &=\log_5\left(5^{3+4-2}\right)\\ &=\log_5(5^5)=5. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is D.

26.

若 $\log_{10}m=b-\log_{10}n$ ，则 $m=$

If $\log_{10}m=b-\log_{10}n,$ then $m=$

$\dfrac{b}{n}$

$bn$

$10^bn$

$b-10^n$

$\dfrac{10^b}{n}$

知识点：对数代数变形

难度评级：1400

小提示：

将 $\log_{10}n$ 移到等式左边

Move $\log_{10}n$ to the left side

大提示：

合并两个对数，再以 $10$ 为底取指数

Combine the two logarithms and then exponentiate with base $10$

解答：

移项并使用对数的乘法法则，得到 $\begin{aligned} &\log_{10}m+\log_{10}n\\ &=\log_{10}(mn)=b \end{aligned}\text{。}$ 因此 $mn=10^b$ ，所以 $m=\dfrac{10^b}{n}$ 。

因此，正确答案是 E。

Rearranging and using the product rule for logarithms gives $\begin{aligned} &\log_{10}m+\log_{10}n\\ &=\log_{10}(mn)=b. \end{aligned}$ Therefore $mn=10^b,$ so $m=\dfrac{10^b}{n}.$

Thus, the correct answer is E.

27.

一辆汽车以每小时 $30$ 英里的速度从 $A$ 行驶 $120$ 英里到 $B$ ，再以每小时 $40$ 英里的速度原路返回。往返全程的平均速度最接近：

A car travels $120$ miles from $A$ to $B$ at $30$ miles per hour but returns the same distance at $40$ miles per hour. The average speed for the round trip is closest to:

每小时 $33$ 英里

$33$ mph

每小时 $34$ 英里

$34$ mph

每小时 $35$ 英里

$35$ mph

每小时 $36$ 英里

$36$ mph

每小时 $37$ 英里

$37$ mph

知识点：路程、速度与时间估算

难度评级：1410

小提示：

平均速度等于总路程除以总时间

Average speed is total distance divided by total time

大提示：

两段路程分别用时 $\frac{120}{30}$ 小时和 $\frac{120}{40}$ 小时

The two legs take $\frac{120}{30}$ and $\frac{120}{40}$ hours

解答：

总路程为 $240$ 英里。两段路程分别用时 $4$ 小时和 $3$ 小时，所以平均速度（单位为英里/小时）为 $\frac{240}{4+3}=\frac{240}{7}\approx34.29\text{。}$ 这最接近每小时 $34$ 英里。

因此，正确答案是 B。

The total distance is $240$ miles. The travel times are $4$ hours and $3$ hours, so the average speed, in miles per hour, is $\frac{240}{4+3}=\frac{240}{7}\approx34.29$ which is closest to $34$ mph.

Thus, the correct answer is B.

28.

两名男孩 $A$ 和 $B$ 同时从 Port Jervis 骑车前往 $60$ 英里外的 Poughkeepsie。 $A$ 的速度比 $B$ 每小时慢 $4$ 英里。 $B$ 到达 Poughkeepsie 后立即掉头，在距 Poughkeepsie $12$ 英里处与 $A$ 相遇。 $A$ 的速度为：

Two boys $A$ and $B$ start at the same time to ride from Port Jervis to Poughkeepsie, $60$ miles away. $A$ travels $4$ miles an hour slower than $B.$ $B$ reaches Poughkeepsie and at once turns back meeting $A$ $12$ miles from Poughkeepsie. The rate of $A$ was:

每小时 $4$ 英里

$4$ mph

每小时 $8$ 英里

$8$ mph

每小时 $12$ 英里

$12$ mph

每小时 $16$ 英里

$16$ mph

每小时 $20$ 英里

$20$ mph

知识点：路程、速度与时间相对速度比与比例

难度评级：1640

小提示：

相遇时， $A$ 已行驶 $48$ 英里

By the meeting time, $A$ has traveled $48$ miles

大提示：

在相同时间内， $B$ 已行驶 $60+12=72$ 英里

In the same time, $B$ has traveled $60+12=72$ miles

解答：

相遇时， $A$ 已行驶 $60-12=48$ 英里， $B$ 已行驶 $60+12=72$ 英里。由于两人行驶的时间相同，速度之比为 $48:72=2:3$ 。若 $A$ 的速度为 $v$ ，则 $B$ 的速度为 $v+4$ ，所以 $\frac{v}{v+4}=\frac23\text{。}$ 于是 $3v=2v+8$ ，得到 $v=8$ ，即每小时八英里。

因此，正确答案是 B。

At the meeting point, $A$ has traveled $60-12=48$ miles and $B$ has traveled $60+12=72$ miles. Since their travel times are equal, their speeds are in the ratio $48:72=2:3.$ If $A$ ’s speed is $v,$ then $B$ ’s is $v+4,$ so $\frac{v}{v+4}=\frac23.$ Thus $3v=2v+8,$ and $v=8$ mph.

Thus, the correct answer is B.

29.

某制造商造了一台机器，可在 $8$ 分钟内给 $500$ 个信封书写地址。他希望再造一台机器，使两台机器同时工作时能在 $2$ 分钟内完成 $500$ 个信封。若第二台机器单独完成 $500$ 个信封需要 $x$ 分钟，则求该时间所用的方程为：

A manufacturer built a machine which will address $500$ envelopes in $8$ minutes. He wishes to build another machine so that when both are operating together they will address $500$ envelopes in $2$ minutes. The equation used to find how many minutes $x$ it would require the second machine to address $500$ envelopes alone is:

$8-x=2$

$\dfrac18+\dfrac1x=\dfrac12$

$\dfrac{500}{8}+\dfrac{500}{x}=500$

$\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{8}=1$

以上答案均不正确

None of these answers

知识点：速率分式方程

难度评级：1440

小提示：

以每分钟完成多少批 $500$ 个信封来表示各台机器的效率

Measure each machine’s rate in batches of $500$ envelopes per minute

大提示：

两台机器各自的效率之和等于共同工作的效率

The two individual rates must add to the combined rate

解答：

第一台机器每分钟完成一批 $500$ 个信封的 $\tfrac18$ ，第二台每分钟完成一批的 $\tfrac1x$ 。两台一起工作时，每分钟必须完成一批的 $\tfrac12$ 。因此，所需方程为 $\frac18+\frac1x=\frac12\text{。}$

因此，正确答案是 B。

The first machine completes $\tfrac18$ of a $500$ -envelope batch per minute, and the second completes $\tfrac1x$ of a batch per minute. Together they must complete $\tfrac12$ of a batch per minute. Therefore the required equation is $\frac18+\frac1x=\frac12.$

Thus, the correct answer is B.

30.

一群男孩和女孩中先有 $15$ 名女孩离开，此时每名女孩对应两名男孩。随后又有 $45$ 名男孩离开，此时每名男孩对应 $5$ 名女孩。最初的女孩人数为：

From a group of boys and girls, $15$ girls leave. There are then left two boys for each girl. After this $45$ boys leave. There are then $5$ girls for each boy. The number of girls in the beginning was:

$40$

$43$

$29$

$50$

以上答案均不正确

None of these

知识点：方程组比与比例

难度评级：1600

小提示：

设最初的女孩和男孩人数分别为 $G$ 和 $B$

Let $G$ and $B$ be the original numbers of girls and boys

大提示：

将两个比例写成 $B=2(G-15)$ 和 $G-15=5(B-45)$

Translate the two ratios as $B=2(G-15)$ and $G-15=5(B-45)$

解答：

设最初有 $G$ 名女孩和 $B$ 名男孩。两个条件给出 $\begin{aligned} B&=2(G-15),\\ G-15&=5(B-45) \end{aligned}\text{。}$ 将第一个方程代入第二个方程，得到 $\begin{aligned} G-15 &=5\bigl(2(G-15)-45\bigr)\\ &=10G-375 \end{aligned}\text{。}$ 因此 $9G=360$ ，所以 $G=40$ 。

因此，正确答案是 A。

Let the original counts be $G$ girls and $B$ boys. The two conditions give $\begin{aligned} B&=2(G-15),\\ G-15&=5(B-45). \end{aligned}$ Substituting the first into the second yields $\begin{aligned} G-15 &=5\bigl(2(G-15)-45\bigr)\\ &=10G-375. \end{aligned}$ Hence $9G=360,$ so $G=40.$

Thus, the correct answer is A.

31.

约翰订购了 $4$ 双黑袜和若干双蓝袜。每双黑袜的价格是蓝袜的两倍。配货时，两种颜色袜子的双数被调换了，导致账单金额增加 $50\%$ 。原订单中黑袜双数与蓝袜双数之比为：

John ordered $4$ pairs of black socks and some additional pairs of blue socks. The price of the black socks per pair was twice that of the blue. When the order was filled, it was found that the number of pairs of the two colors had been interchanged. This increased the bill by $50\%.$ The ratio of the number of pairs of black socks to the number of pairs of blue socks in the original order was:

$4:1$

$2:1$

$1:4$

$1:2$

$1:8$

知识点：钱币比与比例一次方程

难度评级：1560

小提示：

设每双蓝袜价格为 $p$ ，原订单中蓝袜有 $n$ 双

Let a blue pair cost $p$ and let $n$ be the original number of blue pairs

大提示：

比较原账单 $(8+n)p$ 与调换数量后的账单 $(2n+4)p$

Compare the original bill $(8+n)p$ with the interchanged bill $(2n+4)p$

解答：

设每双蓝袜价格为 $p$ ，则每双黑袜价格为 $2p$ ；再设原订单中蓝袜有 $n$ 双。原账单为 $(8+n)p$ 。调换两种袜子的双数后，账单为 $(2n+4)p$ 。后者比前者多 $50\%$ ，所以 $2n+4=\frac32(n+8)\text{。}$ 因此 $n=16$ ，原订单中黑袜与蓝袜的双数之比为 $4:16=1:4$ 。

因此，正确答案是 C。

Let a blue pair cost $p,$ so a black pair costs $2p,$ and let $n$ be the original number of blue pairs. The original bill is $(8+n)p.$ After the quantities are interchanged, the bill is $(2n+4)p.$ The latter is $50\%$ greater, so $2n+4=\frac32(n+8).$ Thus $n=16,$ and the original black-to-blue ratio is $4:16=1:4.$

Thus, the correct answer is C.

32.

一架长 $25$ 英尺的梯子斜靠在建筑物的竖直墙面上，梯脚距墙根 $7$ 英尺。若梯顶向下滑 $4$ 英尺，则梯脚将滑动：

A $25$ foot ladder is placed against a vertical wall of a building. The foot of the ladder is $7$ feet from the base of the building. If the top of the ladder slips $4$ feet, then the foot of the ladder will slide:

$9$ 英尺

$9$ ft

$15$ 英尺

$15$ ft

$5$ 英尺

$5$ ft

$8$ 英尺

$8$ ft

$4$ 英尺

$4$ ft

知识点：勾股定理直角三角形

难度评级：1310

小提示：

利用直角三角形求梯顶原来在墙上的高度

Find the ladder’s original height on the wall using a right triangle

大提示：

梯顶下滑后，高度减少 $4$ 英尺，而斜边仍为 $25$

After the top slips, the new height is $4$ feet less while the hypotenuse stays $25$

解答：

梯顶原来的高度（单位为英尺）为 $\sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{576}=24\text{。}$ 梯顶下滑后，高度为 $20$ 英尺，所以新的水平距离为 $\sqrt{25^2-20^2}=15$ 英尺。因此，梯脚滑动了 $15-7=8$ 英尺。

因此，正确答案是 D。

The initial height, in feet, is $\sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{576}=24.$ After the top slips, the height is $20$ feet, so the new horizontal distance is $\sqrt{25^2-20^2}=15$ feet. The foot therefore slides $15-7=8$ feet.

Thus, the correct answer is D.

33.

内径为 $1$ 英寸的圆管需要多少根，才能与一根内径为 $6$ 英寸的圆管输送相同的水量？

The number of circular pipes with an inside diameter of $1$ inch which will carry the same amount of water as a pipe with an inside diameter of $6$ inches is:

$6\pi$

$6$

$12$

$36$

$36\pi$

知识点：圆面积长度、面积与体积的缩放关系

难度评级：1240

小提示：

输水能力与横截面积成正比

Water-carrying capacity is proportional to cross-sectional area

大提示：

圆的面积与直径的平方成正比

Circular area scales as the square of the diameter

解答：

两种圆管的直径之比为 $6:1$ ，所以横截面积之比为 $6^2:1^2=36:1\text{。}$ 因此， $36$ 根小圆管的横截面积之和等于大圆管的横截面积。

因此，正确答案是 D。

The ratio of the diameters is $6:1,$ so the ratio of cross-sectional areas is $6^2:1^2=36:1.$ Thus $36$ of the smaller pipes have the same total cross-sectional area as the larger pipe.

Thus, the correct answer is D.

34.

一个玩具气球的圆周长从 $20$ 英寸增加到 $25$ 英寸时，半径增加了：

When the circumference of a toy balloon is increased from $20$ inches to $25$ inches, the radius is increased by:

$5$ 英寸

$5$ in

$2\dfrac12$ 英寸

$2\dfrac12$ in

$\dfrac5\pi$ 英寸

$\dfrac5\pi$ in

$\dfrac{5}{2\pi}$ 英寸

$\dfrac{5}{2\pi}$ in

$\dfrac{\pi}{5}$ 英寸

$\dfrac{\pi}{5}$ in

知识点：圆周长代数变形

难度评级：1310

小提示：

对两个圆周长分别使用 $C=2\pi r$

Use $C=2\pi r$ for each circumference

大提示：

圆周长的变化量是半径变化量的 $2\pi$ 倍

The change in circumference is $2\pi$ times the change in radius

解答：

因为 $C=2\pi r$ ，所以变化量满足 $25-20=2\pi\mathopen{}\left(r_{\mathrm{new}}-r_{\mathrm{old}}\right)\mathclose{}\text{。}$ 因此，半径增加了 $\dfrac{5}{2\pi}$ 英寸。

因此，正确答案是 D。

Because $C=2\pi r,$ the changes satisfy $25-20=2\pi\mathopen{}\left(r_{\mathrm{new}}-r_{\mathrm{old}}\right)\mathclose{}.$ Hence the radius increases by $\dfrac{5}{2\pi}$ inches.

Thus, the correct answer is D.

35.

在三角形 $ABC$ 中， $AC=24$ 英寸， $BC=10$ 英寸， $AB=26$ 英寸。其内切圆半径为：

In triangle $ABC,$ $AC=24$ inches, $BC=10$ inches, $AB=26$ inches. The radius of the inscribed circle is:

$26$ 英寸

$26$ in

$4$ 英寸

$4$ in

$13$ 英寸

$13$ in

$8$ 英寸

$8$ in

以上答案均不正确

None of these

知识点：直角三角形内切圆、内心与内切圆半径勾股数

难度评级：1510

小提示：

这些边长组成一个直角三角形

The side lengths form a right triangle

大提示：

对于两条直角边为 $a,b$ 、斜边为 $c$ 的直角三角形，内切圆半径为 $\frac{a+b-c}{2}$

For a right triangle with legs $a,b$ and hypotenuse $c,$ the inradius is $\frac{a+b-c}{2}$

解答：

由于 $10^2+24^2=26^2$ ，这个三角形是直角三角形。其面积为 $\tfrac12(10)(24)=120$ ，半周长为 $\tfrac{10+24+26}{2}=30$ 。利用 $K=rs$ ，内切圆半径（单位为英寸）为 $r=\frac{K}{s}=\frac{120}{30}=4\text{。}$

因此，正确答案是 B。

Since $10^2+24^2=26^2,$ the triangle is right. Its area is $\tfrac12(10)(24)=120,$ and its semiperimeter is $\tfrac{10+24+26}{2}=30.$ Using $K=rs,$ the inradius, in inches, is $r=\frac{K}{s}=\frac{120}{30}=4.$

Thus, the correct answer is B.

36.

一位商人以比目录价低 $25\%$ 的价格购入商品。他希望设定一个标价，使商品按标价打 $20\%$ 的折扣售出后，利润仍为售价的 $25\%$ 。标价应为目录价的百分之几？

A merchant buys goods at $25\%$ off the list price. He desires to mark the goods so that he can give a discount of $20\%$ on the marked price and still clear a profit of $25\%$ on the selling price. What per cent of the list price must he mark the goods?

$125\%$

$100\%$

$120\%$

$80\%$

$75\%$

知识点：百分数钱币一次方程

难度评级：1560

小提示：

设目录价为 $L$ ，标价为 $M$

Take the list price to be $L$ and the marked price to be $M$

大提示：

成本为 $0.75L$ ，售价为 $0.8M$ ，且成本是售价的 $75\%$

The cost is $0.75L,$ the selling price is $0.8M,$ and the cost is $75\%$ of the selling price

解答：

设目录价和标价分别为 $L$ 和 $M$ 。商人的成本为 $0.75L$ ，打折后的售价为 $0.8M$ 。利润等于售价的 $25\%$ ，意味着成本是售价的其余 $75\%$ 。因此， $0.75L=0.75(0.8M)=0.6M\text{。}$ 所以 $M=1.25L$ ，即目录价的 $125\%$ 。

因此，正确答案是 A。

Let the list and marked prices be $L$ and $M.$ The merchant’s cost is $0.75L,$ while the selling price after the discount is $0.8M.$ A profit equal to $25\%$ of the selling price means that the cost is the remaining $75\%$ of that price. Therefore $0.75L=0.75(0.8M)=0.6M.$ Thus $M=1.25L,$ or $125\%$ of the list price.

Thus, the correct answer is A.

37.

若 $y=\log_a x$ ，且 $a>1$ ，下列哪个说法不正确？

If $y=\log_a x,$ $a>1,$ which of the following statements is incorrect?

若 $x=1$ ，则 $y=0$

If $x=1,$ $y=0$

若 $x=a$ ，则 $y=1$

If $x=a,$ $y=1$

若 $x=-1$ ，则 $y$ 为虚数（复数）

If $x=-1,$ $y$ is imaginary (complex)

若 0<x<1，则 $y$ 始终小于 $0$ ，并且当 $x$ 趋近于零时无限减小

If 0<x<1, $y$ is always less than $0$ and decreases without limit as $x$ approaches zero

以上说法只有一部分正确

Only some of the above statements are correct

知识点：对数函数复数

难度评级：1530

小提示：

直接根据对数的定义检验选项 A 和 B

Check choices A and B directly from the definition of a logarithm

大提示：

当 $a>1$ 时，实对数函数递增，并在 $x$ 从右侧趋近于 $0$ 时趋于 $-\infty$

For $a>1,$ the real logarithm is increasing and tends to $-\infty$ as $x$ approaches $0$ from the right

解答：

我们有 $\log_a1=0$ 和 $\log_aa=1$ 。实对数在 $-1$ 处没有定义，但其复数值不是实数。当 $a>1$ 时，在 $0<x<1$ 上有 $\log_a x<0$ ，并且当 $x$ 从右侧趋近于 $0$ 时，它趋于 $-\infty$ 。因此，A 至 D 都正确，“只有一部分正确”才是不正确的说法。

因此，正确答案是 E。

We have $\log_a1=0$ and $\log_aa=1.$ A real logarithm is not defined at $-1,$ though its complex values are nonreal. For $a>1,$ $\log_a x<0$ on $0<x<1,$ and it tends to $-\infty$ as $x$ approaches $0$ from the right. Thus statements A through D are all correct, making the claim that only some are correct the incorrect statement.

Thus, the correct answer is E.

38.

若对于 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 和 $d$ 的任意取值，式子 $\begin{vmatrix}a&c\\d&b\end{vmatrix}$ 的值均为 $ab-cd$ ，则方程 $\begin{vmatrix}2x&1\\x&x\end{vmatrix}=3$

If the expression $\begin{vmatrix}a&c\\d&b\end{vmatrix}$ has the value $ab-cd$ for all values of $a,$ $b,$ $c,$ and $d,$ then the equation $\begin{vmatrix}2x&1\\x&x\end{vmatrix}=3$

仅有 $1$ 个 $x$ 值满足

Is satisfied for only $1$ value of $x$

有 $2$ 个 $x$ 值满足

Is satisfied for $2$ values of $x$

没有 $x$ 值满足

Is satisfied for no values of $x$

有无穷多个 $x$ 值满足

Is satisfied for an infinite number of values of $x$

以上答案均不正确

None of these

知识点：行列式二次方程

难度评级：1600

小提示：

使用给定规则，将行列式化为二次方程

Apply the given rule to turn the determinant into a quadratic equation

大提示：

所得方程为 $2x^2-x=3$

The equation is $2x^2-x=3$

解答：

根据给定规则，方程化为 $(2x)(x)-(1)(x)=3\text{，}$ 即 $2x^2-x-3=0$ 。因式分解得到 $(2x-3)(x+1)=0$ ，其两个不同的解为 $x=\tfrac32$ 和 $x=-1$ 。

因此，正确答案是 B。

The given rule turns the equation into $(2x)(x)-(1)(x)=3,$ or $2x^2-x-3=0.$ Factoring gives $(2x-3)(x+1)=0,$ whose two distinct solutions are $x=\tfrac32$ and $x=-1.$

Thus, the correct answer is B.

39.

已知级数 $2+1+\dfrac12+\dfrac14+\cdots$ 以及下列五个说法：

$(1)$ 和无限增大。

$(2)$ 和无限减小。

$(3)$ 数列任意一项与零之差都可以小于任意给定的正数，无论该正数多么小。

$(4)$ 和与 $4$ 之差可以小于任意给定的正数，无论该正数多么小。

$(5)$ 和趋近于一个极限。

其中正确的说法是：

Given the series $2+1+\dfrac12+\dfrac14+\cdots$ and the following five statements:

$(1)$ the sum increases without limit.

$(2)$ the sum decreases without limit.

$(3)$ the difference between any term of the sequence and zero can be made less than any positive quantity no matter how small.

$(4)$ the difference between the sum and $4$ can be made less than any positive quantity no matter how small.

$(5)$ the sum approaches a limit.

Of these statements, the correct ones are:

只有 $3$ 和 $4$

Only $3$ and $4$

只有 $5$

Only $5$

只有 $2$ 和 $4$

Only $2$ and $4$

只有 $2$ 、 $3$ 和 $4$

Only $2,$ $3,$ and $4$

只有 $4$ 和 $5$

Only $4$ and $5$

知识点：等比数列求和微积分

难度评级：1670

小提示：

区分数列的项与级数的部分和

Distinguish the terms of the sequence from its partial sums

大提示：

首项为 $2$ 、公比为 $\frac{1}{2}$ 的等比级数，其部分和趋近于 $4$

A geometric series with first term $2$ and ratio $\frac{1}{2}$ has partial sums approaching $4$

解答：

部分和递增并趋近于 $\frac{2}{1-\frac12}=4\text{，}$ 所以它们既不无限增大，也不无限减小。因此，说法 $1$ 和 $2$ 错误，而说法 $4$ 和 $5$ 正确。

在说法 $3$ 中，“任意一项”指已经选定的一项，它与零的距离固定，不能再变小；正确的说法应是可以选取足够靠后的项，使其小于任意给定的正数。因此，按原文措辞，说法 $3$ 错误。

因此，只有说法 $4$ 和 $5$ 正确，所以正确答案是 E。

The partial sums increase toward $\frac{2}{1-\frac12}=4,$ so they neither increase nor decrease without limit. This makes statements $1$ and $2$ false, while statements $4$ and $5$ are true.

In statement $3,$ “any term” refers to an already selected term, whose distance from zero is fixed and cannot be made smaller; one can instead choose a sufficiently late term below any prescribed positive bound. Thus statement $3$ , as worded, is false.

Therefore only statements $4$ and $5$ are correct, so the correct answer is E.

40.

当 $x$ 趋近于 $1$ 时， $\dfrac{x^2-1}{x-1}$ 的极限为：

The limit of $\dfrac{x^2-1}{x-1}$ as $x$ approaches $1$ as a limit is:

$0$

不定

Indeterminate

$x-1$

$2$

$1$

知识点：微积分平方差

难度评级：1470

小提示：

将分子按平方差因式分解

Factor the numerator as a difference of squares

大提示：

当 $x\ne1$ 时，约去公因式 $x-1$

For $x\ne1,$ cancel the common factor $x-1$

解答：

当 $x\ne1$ 时， $\begin{aligned} \frac{x^2-1}{x-1} &=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}\\ &=x+1 \end{aligned}\text{。}$ 因此，当 $x$ 趋近于 $1$ 时，极限为 $1+1=2$ 。

因此，正确答案是 D。

For $x\ne1,$ $\begin{aligned} \frac{x^2-1}{x-1} &=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}\\ &=x+1. \end{aligned}$ Therefore the limit as $x$ approaches $1$ is $1+1=2.$

Thus, the correct answer is D.

41.

当 $a>0$ 时，函数 $ax^2+bx+c$ 的最小值为：

The least value of the function $ax^2+bx+c$ with $a>0$ is:

$-\dfrac ba$

$-\dfrac{b}{2a}$

$b^2-4ac$

$\dfrac{4ac-b^2}{4a}$

以上答案均不正确

None of these

知识点：配方法二次方程最优化

难度评级：1580

小提示：

对 $ax^2+bx+c$ 配方

Complete the square in $ax^2+bx+c$

大提示：

由于 $a>0$ ，平方项等于零时取最小值

Since $a>0,$ the squared term is minimized when it equals zero

解答：

配方得到 $\begin{aligned} ax^2+bx+c &=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2\\ &\quad+c-\frac{b^2}{4a} \end{aligned}\text{。}$ 因为 $a>0$ ，平方项的最小值为 $0$ 。因此，函数的最小值为 $c-\frac{b^2}{4a}=\frac{4ac-b^2}{4a}\text{。}$

因此，正确答案是 D。

Completing the square gives $\begin{aligned} ax^2+bx+c &=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2\\ &\quad+c-\frac{b^2}{4a}. \end{aligned}$ Because $a>0,$ the squared term has minimum $0.$ The least value is therefore $c-\frac{b^2}{4a}=\frac{4ac-b^2}{4a}.$

Thus, the correct answer is D.

42.

当 $x$ 等于下列哪个值时，方程 $x^{x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}}=2$ 成立？

The equation $x^{x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}}=2$ is satisfied when $x$ is equal to:

无穷大

Infinity

$2$

$\sqrt[4]{2}$

$\sqrt2$

以上答案均不正确

None of these

知识点：指数递推

难度评级：1830

小提示：

最底层 $x$ 上方的指数仍是整个无限幂塔

The exponent above the first $x$ is the entire infinite tower again

大提示：

用已知值 $2$ 代替重复出现的幂塔

Replace that repeated tower by its given value $2$

解答：

设无限幂塔的值为 $T$ 。去掉最底层的 $x$ 后，指数部分仍是同一个幂塔，所以 $T=x^T$ 。由于 $T=2$ ，得到 $2=x^2\text{。}$ 因此，正底数为 $x=\sqrt2$ ，此时幂塔收敛。

因此，正确答案是 D。

Let the value of the infinite tower be $T.$ Removing its bottom $x$ leaves the same tower as the exponent, so $T=x^T.$ Since $T=2,$ we obtain $2=x^2.$ The positive base is therefore $x=\sqrt2,$ for which the tower is convergent.

Thus, the correct answer is D.

43.

无穷级数 $\dfrac17+\dfrac{2}{7^2}+\dfrac{1}{7^3}+\dfrac{2}{7^4}+\cdots$ 的和为：

The sum to infinity of $\dfrac17+\dfrac{2}{7^2}+\dfrac{1}{7^3}+\dfrac{2}{7^4}+\cdots$ is:

$\dfrac15$

$\dfrac1{24}$

$\dfrac5{48}$

$\dfrac1{16}$

以上答案均不正确

None of these

知识点：等比数列求和

难度评级：1670

小提示：

将级数中相邻的两项分为一组

Group the series into consecutive pairs of terms

大提示：

每一组都是前一组的 $\frac{1}{49}$

Each pair is $\frac{1}{49}$ times the preceding pair

解答：

将相邻两项分组后，得到一个等比级数，其首项为 $\frac17+\frac2{49}=\frac9{49}\text{，}$ 公比为 $\tfrac1{49}$ 。因此，级数之和为 $\frac{\frac9{49}}{1-\frac1{49}} =\frac9{48} =\frac3{16}\text{。}$ 这个值不在选项 A 至 D 中。

因此，正确答案是 E。

Grouping consecutive terms gives a geometric series whose first grouped term is $\frac17+\frac2{49}=\frac9{49}$ and whose ratio is $\tfrac1{49}.$ Hence the sum is $\frac{\frac9{49}}{1-\frac1{49}} =\frac9{48} =\frac3{16}.$ This is not among choices A through D.

Thus, the correct answer is E.

44.

函数 $y=\log x$ 的图像

The graph of $y=\log x$

与 $y$ 轴相交

Cuts the $y$ -axis

与所有垂直于 $x$ 轴的直线相交

Cuts all lines perpendicular to the $x$ -axis

与 $x$ 轴相交

Cuts the $x$ -axis

与两个坐标轴都不相交

Cuts neither axis

与所有以原点为圆心的圆相交

Cuts all circles whose center is at the origin

知识点：对数函数坐标几何

难度评级：1340

小提示：

求出 $\log x=0$ 时的自变量值

Find where $\log x=0$

大提示：

对数仅在 $x>0$ 时有定义

The logarithm is defined only for $x>0$

解答：

由于 $\log1=0$ ，图像经过 $(1,0)$ ，因此与 $x$ 轴相交。又因为 $x=0$ 不在定义域内，所以图像不可能与 $y$ 轴相交。

因此，正确答案是 C。

Since $\log1=0,$ the graph passes through $(1,0)$ and therefore cuts the $x$ -axis. It cannot cut the $y$ -axis because $x=0$ is outside its domain.

Thus, the correct answer is C.

45.

一个 $100$ 边形可以画出的对角线条数为：

The number of diagonals that can be drawn in a polygon of $100$ sides is:

$4850$

$4950$

$9900$

$98$

$8800$

知识点：对角线组合

难度评级：1410

小提示：

每一对顶点确定一条线段

Every pair of vertices determines a segment

大提示：

从 $\binom{100}{2}$ 对顶点中减去 $100$ 条边

Subtract the $100$ sides from the $\binom{100}{2}$ vertex pairs

解答：

连接各对顶点共有 $\binom{100}{2}$ 条线段，其中恰有 $100$ 条是多边形的边，所以对角线条数为 $\begin{aligned} \binom{100}{2}-100 &=4950-100\\ &=4850 \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 A。

There are $\binom{100}{2}$ segments joining pairs of vertices. Exactly $100$ of these are sides, so the number of diagonals is $\begin{aligned} \binom{100}{2}-100 &=4950-100\\ &=4850. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is A.

46.

在三角形 $ABC$ 中， $AB=12$ 、 $AC=7$ 、 $BC=10$ 。若将边 $AB$ 和 $AC$ 加倍，而 $BC$ 保持不变，则：

In triangle $ABC,$ $AB=12,$ $AC=7,$ and $BC=10.$ If sides $AB$ and $AC$ are doubled while $BC$ remains the same, then:

面积加倍

The area is doubled

高加倍

The altitude is doubled

面积变为原来的四倍

The area is four times the original area

中线不变

The median is unchanged

三角形的面积为 $0$

The area of the triangle is $0$

知识点：三角不等式面积

难度评级：1450

小提示：

写出三条新边的长度

Write down the three new side lengths

大提示：

将最长的新边与另两边之和比较

Compare the largest new side with the sum of the other two

解答：

三条新边的长度为 $24$ 、 $14$ 和 $10$ 。由于 $14+10=24\text{，}$ 它们构成退化三角形，三个顶点共线。因此，其面积为 $0$ 。

因此，正确答案是 E。

The new side lengths are $24,$ $14,$ and $10.$ Because $14+10=24,$ they form a degenerate triangle: all three vertices are collinear. Its area is therefore $0.$

Thus, the correct answer is E.

47.

一个内接于三角形的矩形，其底边与三角形长为 $b$ 的底边重合。若三角形的高为 $h$ ，矩形的高 $x$ 是矩形底边的一半，则：

A rectangle inscribed in a triangle has its base coinciding with the base $b$ of the triangle. If the altitude of the triangle is $h,$ and the altitude $x$ of the rectangle is half the base of the rectangle, then:

$x=\dfrac12h$

$x=\dfrac{bh}{b+h}$

$x=\dfrac{bh}{2h+b}$

$x=\sqrt{\dfrac{hb}{2}}$

$x=\dfrac12b$

知识点：相似矩形高线

难度评级：1800

小提示：

三角形内距底边高度为 $x$ 的横截线长度为 $b(1-\frac{x}{h})$

The segment across the triangle at height $x$ has length $b(1-\frac{x}{h})$

大提示：

矩形的底边长为 $2x$

The rectangle’s base is $2x$

解答：

由相似三角形可知，在距底边高度 $x$ 处，三角形的宽度为 $b(1-\tfrac{x}{h})$ ，这就是内接矩形的底边。由于矩形的高是底边的一半，其底边长为 $2x$ 。因此， $2x=b\left(1-\frac{x}{h}\right)\text{。}$ 两边乘以 $h$ 并求解，得到 $x(2h+b)=bh$ ，所以 $x=\dfrac{bh}{2h+b}$ 。

因此，正确答案是 C。

By similarity, the width of the triangle at height $x$ above its base is $b(1-\tfrac{x}{h}).$ This is the base of the inscribed rectangle. Since the rectangle’s altitude is half its base, its base is $2x.$ Hence $2x=b\left(1-\frac{x}{h}\right).$ Multiplying by $h$ and solving gives $x(2h+b)=bh,$ so $x=\dfrac{bh}{2h+b}.$

Thus, the correct answer is C.

48.

在一个等边三角形内部任取一点，从该点分别向三边作垂线。这三条垂线段的长度之和：

A point is selected at random inside an equilateral triangle. From this point perpendiculars are dropped to each side. The sum of these perpendiculars is:

当该点为三角形重心时最小

Least when the point is the center of gravity of the triangle

大于三角形的高

Greater than the altitude of the triangle

等于三角形的高

Equal to the altitude of the triangle

等于三角形周长的一半

One-half the sum of the sides of the triangle

当该点为三角形重心时最大

Greatest when the point is the center of gravity

知识点：维维亚尼定理等边三角形面积分割

难度评级：1920

小提示：

将内部点与三个顶点分别连接

Join the interior point to all three vertices

大提示：

以相同的边长为底，将三个小三角形的面积相加

Add the areas of the three smaller triangles using the common side length as their bases

解答：

设等边三角形的边长为 $s$ ，高为 $h$ ，三个垂直距离为 $d_1,d_2,d_3$ 。用内部点将大三角形分成三个小三角形，得到 $\frac12s(d_1+d_2+d_3)=\frac12sh\text{。}$ 因此 $d_1+d_2+d_3=h$ ，与所选点的位置无关。

因此，正确答案是 C。

Let the equilateral triangle have side length $s$ and altitude $h,$ and let the three perpendicular distances be $d_1,d_2,d_3.$ Splitting the triangle at the interior point gives $\frac12s(d_1+d_2+d_3)=\frac12sh.$ Therefore $d_1+d_2+d_3=h,$ independent of the selected point.

Thus, the correct answer is C.

49.

一个三角形有一条固定底边 $AB$ ，长为 $2$ 英寸。从 $A$ 到边 $BC$ 的中线长为 $1\dfrac12$ 英寸，并可从 $A$ 向任意方向引出。顶点 $C$ 的轨迹为：

A triangle has a fixed base $AB$ that is $2$ inches long. The median from $A$ to side $BC$ is $1\dfrac12$ inches long and can have any position emanating from $A.$ The locus of the vertex $C$ of the triangle is:

一条直线 $AB$ ，距 $A$ 为 $1\dfrac12$ 英寸

A straight line $AB,$ $1\dfrac12$ inches from $A$

以 $A$ 为圆心、半径为 $2$ 英寸的圆

A circle with $A$ as center and radius $2$ inches

以 $A$ 为圆心、半径为 $3$ 英寸的圆

A circle with $A$ as center and radius $3$ inches

半径为 $3$ 英寸，圆心位于射线 $BA$ 上且距 $B$ 为 $4$ 英寸的圆

A circle with radius $3$ inches and center $4$ inches from $B$ along $BA$

以 $A$ 为焦点的椭圆

An ellipse with $A$ as focus

知识点：中线（几何）圆变换

难度评级：2170

小提示：

设 $M$ 为 $BC$ 的中点，则 $M$ 在以 $A$ 为圆心的圆上运动

Let $M$ be the midpoint of $BC$ ; then $M$ moves on a circle centered at $A$

大提示：

以 $A$ 为原点时，中点关系的向量形式为 $\vec C=2\vec M-\vec B$

In vector form, the midpoint relation gives $\vec C=2\vec M-\vec B$ when $A$ is the origin

解答：

将 $A$ 置于原点，并把 $B$ 、 $C$ 以及 $BC$ 的中点 $M$ 看作向量。由于 $AM=\tfrac32$ ，点 $M$ 在以 $A$ 为圆心、半径为 $\tfrac32$ 的圆上运动。中点关系给出 $C=2M-B\text{。}$ 因此， $C$ 的轨迹是先将该圆放大 $2$ 倍，再平移 $-B$ 所得的图形，即以 $-B$ 为圆心、半径为 $3$ 的圆。

因为 $AB=2$ ，点 $-B$ 位于射线 $BA$ 上，且距 $B$ 为 $4$ 英寸。因此，正确答案是 D。

Put $A$ at the origin and regard $B,$ $C,$ and the midpoint $M$ of $BC$ as vectors. Since $AM=\tfrac32,$ the point $M$ moves on a circle of radius $\tfrac32$ centered at $A.$ The midpoint relation gives $C=2M-B.$ Thus the locus of $C$ is the image of that circle under a dilation by $2$ followed by translation by $-B.$ It is a circle of radius $3$ centered at $-B.$

Because $AB=2,$ the point $-B$ is $4$ inches from $B$ along the ray $BA.$ Hence the correct answer is D.

50.

上午 $11{:}45$ ，一艘私掠船发现一艘商船位于下风方向 $10$ 英里处。私掠船借着顺风以每小时 $11$ 英里的速度追赶，而商船逃跑时只能达到每小时 $8$ 英里。追逐两小时后，私掠船的上桅帆被风刮走；此后私掠船每航行 $17$ 英里时，商船航行 $15$ 英里。私掠船将在何时追上商船？

A privateer discovers a merchantman $10$ miles to leeward at $11{:}45$ a.m. and with a good breeze bears down upon her at $11$ mph, while the merchantman can only make $8$ mph in her attempt to escape. After a two hour chase, the top sail of the privateer is carried away: she can now make only $17$ miles while the merchantman makes $15.$ The privateer will overtake the merchantman at:

下午 $3{:}45$

$3{:}45$ p.m.

下午 $3{:}30$

$3{:}30$ p.m.

下午 $5{:}00$

$5{:}00$ p.m.

下午 $2{:}45$

$2{:}45$ p.m.

下午 $5{:}30$

$5{:}30$ p.m.

知识点：路程、速度与时间相对速度比与比例

难度评级：1900

小提示：

求最初两小时后两船之间剩余的距离

Find the remaining gap after the first two hours

大提示：

上桅帆被刮走后，两船速度之比为 $17:15$ ，而商船仍以每小时 $8$ 英里航行

After the sail is lost, the speed ratio is $17:15$ while the merchantman still travels at $8$ mph

解答：

最初两小时内，私掠船追近的英里数为 $2(11-8)=6\text{，}$ 所以下午 $1{:}45$ 时，两船距离从 $10$ 英里缩短为 $4$ 英里。

上桅帆被刮走后，两船速度之比为 $17:15$ 。由于商船仍以每小时 $8$ 英里航行，私掠船的新速度为每小时 $8\cdot\tfrac{17}{15}=\tfrac{136}{15}$ 英里。两船接近的相对速度为每小时 $\tfrac{136}{15}-8=\tfrac{16}{15}$ 英里，所以追完剩余距离所需的小时数为 $\frac{4}{\frac{16}{15}}=\frac{15}{4}=3\frac34\text{。}$ 在下午 $1{:}45$ 后再过 $3$ 小时 $45$ 分钟，即为下午 $5{:}30$ 。

因此，正确答案是 E。

During the first two hours, the number of miles the privateer gains is $2(11-8)=6,$ reducing the gap from $10$ miles to $4$ miles at $1{:}45$ p.m.

After the damage, the ships’ speeds are in the ratio $17:15.$ Since the merchantman still travels at $8$ mph, the privateer’s new speed is $8\cdot\tfrac{17}{15}=\tfrac{136}{15}$ mph. The closing speed is therefore $\tfrac{136}{15}-8=\tfrac{16}{15}$ mph, so the number of hours needed to close the remaining gap is $\frac{4}{\frac{16}{15}}=\frac{15}{4}=3\frac34.$ Adding $3$ hours $45$ minutes to $1{:}45$ p.m. gives $5{:}30$ p.m.

Thus, the correct answer is E.