Question

若 $p$ 为正整数，则 $\dfrac{3p+25}{2p-5}$ 为正整数，当且仅当 $p$ 为：

If $p$ is a positive integer, then $\dfrac{3p+25}{2p-5}$ can be a positive integer, if and only if $p$ is:

至少为 $3$

at least $3$

等于 $3$ 、 $5$ 、 $9$ 或 $35$

equal to $3,$ $5,$ $9,$ or $35$

不大于 $35$

no more than $35$

等于 $35$

equal to $35$

等于 $3$ 或 $35$

equal to $3$ or $35$

答案：B

知识点：integer divisibility rational expression factor divisors

难度评级：2210

小提示：

令 $q=2p-5$ ；正性要求 $q$ 为正奇数

Let $q=2p-5;$ positivity forces $q$ to be a positive odd integer

大提示：

将该商改写为 $\frac{3+\frac{65}{q}}{2}$ ，于是 $q$ 必须是 $65$ 的正因数

Rewrite the quotient as $\frac{3+\frac{65}{q}}{2},$ so $q$ must be a positive divisor of $65$

解答：

令 $q=2p-5$ 。商为正数要求 $q>0$ ，而 $q$ 是奇数。由于 $p=\frac{q+5}{2}$ ， $\begin{aligned} \frac{3p+25}{2p-5} &=\frac{3q+65}{2q}\\ &=\frac{3+\frac{65}{q}}{2} \end{aligned}\text{。}$ 所以 $q$ 必须是 $65$ 的正因数。四种可能 $q=1$ 、 $q=5$ 、 $q=13$ 、 $q=65$ 分别给出 $p=3$ 、 $p=5$ 、 $p=9$ 、 $p=35$ ，且每个都符合。不存在其他符合条件的正整数 $p$ 。

因此，数学上正确的集合是 $\{3,5,9,35\}$ ，即调整后的选项 B。

Set $q=2p-5.$ A positive quotient requires $q>0,$ and $q$ is odd. Since $p=\frac{q+5}{2},$ $\begin{aligned} \frac{3p+25}{2p-5} &=\frac{3q+65}{2q}\\ &=\frac{3+\frac{65}{q}}{2}. \end{aligned}$ Thus $q$ must be a positive divisor of $65.$ The possibilities $q=1,$ $q=5,$ $q=13,$ and $q=65$ give $p=3,$ $p=5,$ $p=9,$ and $p=35,$ respectively, and each works. No other positive integer $p$ works.

Therefore the mathematically correct set is $\{3,5,9,35\},$ shown in the adjusted choice B.

1956 AMC 12 第 48 题

答案：B

难度评级：2210

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 48 题