Question

设 $ABC$ 是圆 $O$ 的内接等边三角形。点 $M$ 在弧 $BC$ 上。作直线 $AM$ 、 $BM$ 与 $CM$ 。则 $AM$ ：

Let $ABC$ be an equilateral triangle inscribed in circle $O.$ $M$ is a point on arc $BC.$ Lines $AM,$ $BM,$ and $CM$ are drawn. Then $AM$ is:

等于 $BM+CM$

equal to $BM+CM$

小于 $BM+CM$

less than $BM+CM$

大于 $BM+CM$

greater than $BM+CM$

随 $M$ 的位置不同，可能等于、小于或大于 $BM+CM$

equal to, less than, or greater than $BM+CM,$ depending upon the position of $M$

以上都不是

none of these

答案：A

知识点：圆内接四边形托勒密定理等边三角形

难度评级：1990

小提示：

对圆内接四边形 $ABMC$ 应用托勒密定理

Apply Ptolemy’s theorem to cyclic quadrilateral $ABMC$

大提示：

利用 $AB=BC=CA$ 约去公共边长

Use $AB=BC=CA$ to cancel the common side length

解答：

在圆内接四边形 $ABMC$ 中，托勒密定理给出 $\begin{aligned} AM\cdot BC &=AB\cdot CM\\ &\quad+AC\cdot BM \end{aligned}\text{。}$ 因为 $ABC$ 是等边三角形，所以 $AB=BC=AC$ 。两边除以这个公共长度，得到 $AM=CM+BM\text{。}$

因此，正确答案是 A。

In cyclic quadrilateral $ABMC,$ Ptolemy’s theorem gives $\begin{aligned} AM\cdot BC &=AB\cdot CM\\ &\quad+AC\cdot BM. \end{aligned}$ Since $ABC$ is equilateral, $AB=BC=AC.$ Dividing by this common length yields $AM=CM+BM.$

Therefore, the correct answer is A.

1957 AMC 12 第 48 题

答案：A

难度评级：1990

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 48 题