Question

给定多项式 $\begin{aligned} &a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots\\ &\qquad{}+a_{n-1}x+a_n \end{aligned}\text{，}$ 其中 $n$ 为正整数或零， $a_0$ 为正整数，其余各个 $a$ 为整数或零。令 $\begin{aligned} h={}&n+a_0+|a_1|+|a_2|\\ &{}+\cdots+|a_n| \end{aligned}\text{。}$ 【例题 $25$ 说明了 $|x|$ 的含义。】满足 $h=3$ 的多项式个数为：

Given the polynomial $\begin{aligned} &a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots\\ &\qquad{}+a_{n-1}x+a_n, \end{aligned}$ where $n$ is a positive integer or zero, and $a_0$ is a positive integer. The remaining $a$ ’s are integers or zero. Set $\begin{aligned} h={}&n+a_0+|a_1|+|a_2|\\ &{}+\cdots+|a_n|. \end{aligned}$ [See example $25$ for the meaning of $|x|.$ ] The number of polynomials with $h=3$ is:

$3$

$5$

$6$

$7$

$9$

答案：B

知识点：多项式分类讨论

难度评级：1730

小提示：

因为 $n+a_0\le3$ 且 $a_0\ge1$ ，只需考虑 $n=0,1,2$

Since $n+a_0\le3$ and $a_0\ge1,$ consider only $n=0,1,2$

大提示：

对每个次数，计算绝对值之和满足要求的整系数元组数量

For each degree, count the integer coefficient tuples with the required sum of absolute values

解答：

按次数分类计数。若 $n=0$ ，则 $a_0=3$ ，得到一个多项式。若 $n=1$ ，则 $a_0+|a_1|=2\text{。}$ 此时 $a_0=2,a_1=0$ 或 $a_0=1,a_1=\pm1$ ，共有三个多项式。若 $n=2$ ，则 $a_0=1$ 且 $a_1=a_2=0$ ，再得一个。次数不可能更高。总数为 $1+3+1=5$ 。

因此，正确答案是 B。

We count by degree. If $n=0,$ then $a_0=3,$ giving one polynomial. If $n=1,$ then $a_0+|a_1|=2.$ This gives $a_0=2,a_1=0$ or $a_0=1,a_1=\pm1,$ for three polynomials. If $n=2,$ then $a_0=1$ and $a_1=a_2=0,$ giving one more. No higher degree is possible. The total is $1+3+1=5.$

Thus, the correct answer is B.

1959 AMC 12 第 48 题

答案：B

难度评级：1730

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 48 题