Question

给定三角形 $ABC$ ，其中 $\overline{AE}$ 、 $\overline{BF}$ 、 $\overline{CD}$ 为中线； $\overline{FH}$ 与 $\overline{AE}$ 平行且等长；连接 $\overline{BH}$ 和 $\overline{HE}$ ；延长 $\overline{FE}$ ，与 $\overline{BH}$ 交于 $G$ 。下列哪一项不一定正确？

Given triangle $ABC$ with medians $\overline{AE},$ $\overline{BF},$ $\overline{CD};$ $\overline{FH}$ parallel and equal in length to $\overline{AE};$ $\overline{BH}$ and $\overline{HE}$ are drawn; $\overline{FE}$ extended meets $\overline{BH}$ in $G.$ Which one of the following statements is not necessarily correct?

$AEHF$ 是平行四边形

$AEHF$ is a parallelogram

$\overline{HE}=\overline{HG}$

$\overline{BH}=\overline{DC}$

$\overline{FG}=\dfrac34\overline{AB}$

$\overline{FG}$ 是三角形 $BFH$ 的中线

$\overline{FG}$ is a median of triangle $BFH$

答案：B

知识点：medians vectors 平行四边形 affine geometry

难度评级：2310

小提示：

设 $A=(0,0)$ 、 $B=(2,0)$ 、 $C=(u,v)$ ，并求出中点 $D,E,F$

Place $A=(0,0),$ $B=(2,0),$ $C=(u,v)$ and compute the midpoints $D,E,F$

大提示：

使用 $\overrightarrow{FH}=\overrightarrow{AE}$ ，再在 $BH$ 上纵坐标为 $\frac{v}{2}$ 的位置确定 $G$

Use $\overrightarrow{FH}=\overrightarrow{AE}$ , then locate $G$ where $BH$ reaches height $\frac{v}{2}$

解答：

设 $A=(0,0)$ 、 $B=(2,0)$ 、 $C=(u,v)$ 。则 $\begin{aligned} D&=(1,0),\\ E&=\left(\frac{u+2}{2},\frac v2\right),\\ F&=\left(\frac u2,\frac v2\right) \end{aligned}\text{。}$ 由 $\overrightarrow{FH}=\overrightarrow{AE}$ ，得 $H=(u+1,v)$ 。水平直线 $FE$ 在从 $B$ 到 $H$ 的中点处与 $BH$ 相交，即 $G=(\frac{u+3}{2},\frac{v}{2})$ 。这些坐标验证了 $AEHF$ 是平行四边形、 $\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{DC}$ 、 $FG=\frac{3AB}{4}$ ，且 $G$ 是 $BH$ 的中点，所以 $FG$ 是一条中线。但是 $\begin{aligned} HE&=\frac12\sqrt{u^2+v^2},\\ HG&=\frac12\sqrt{(u-1)^2+v^2} \end{aligned}\text{，}$ 它们通常并不相等。

因此，选项 B 不一定正确。

Set $A=(0,0),$ $B=(2,0),$ $C=(u,v).$ Then $\begin{aligned} D&=(1,0),\\ E&=\left(\frac{u+2}{2},\frac v2\right),\\ F&=\left(\frac u2,\frac v2\right). \end{aligned}$ Since $\overrightarrow{FH}=\overrightarrow{AE},$ we get $H=(u+1,v).$ The horizontal line $FE$ meets $BH$ halfway from $B$ to $H,$ at $G=(\frac{u+3}{2},\frac{v}{2}).$ These coordinates verify that $AEHF$ is a parallelogram, $\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{DC},$ $FG=\frac{3AB}{4},$ and $G$ is the midpoint of $BH,$ making $FG$ a median. But $\begin{aligned} HE&=\frac12\sqrt{u^2+v^2},\\ HG&=\frac12\sqrt{(u-1)^2+v^2}, \end{aligned}$ which are not generally equal.

Thus, statement B is not necessarily correct.

1955 AMC 12 第 48 题

答案：B

难度评级：2310

小提示：

大提示：

解答：

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