Question

圆心为 $O$ 的圆的直径 $\overline{AB}$ 长 $10$ 个单位。点 $C$ 在 $\overline{AB}$ 上，距 $A$ 为 $4$ 个单位；点 $D$ 在 $\overline{AB}$ 上，距 $B$ 为 $4$ 个单位。 $P$ 是圆上任意一点。则从 $C$ 经 $P$ 到 $D$ 的折线路径：

Diameter $\overline{AB}$ of a circle with center $O$ is $10$ units. $C$ is a point $4$ units from $A,$ and on $\overline{AB}.$ $D$ is a point $4$ units from $B,$ and on $\overline{AB}.$ $P$ is any point on the circle. Then the broken-line path from $C$ to $P$ to $D:$

对 $P$ 的所有位置长度都相同

has the same length for all positions of $P$

对 $P$ 的所有位置都超过 $10$ 个单位

exceeds $10$ units for all positions of $P$

不可能超过 $10$ 个单位

cannot exceed $10$ units

当 $CPD$ 为直角三角形时最短

is shortest when $CPD$ is a right triangle

当 $P$ 到 $C$ 和 $D$ 等距时最长

is longest when $P$ is equidistant from $C$ and $D$

答案：E

知识点：圆距离公式最优化对称性

难度评级：1990

小提示：

将圆心置于原点、直径置于 $x$ 轴，使 $C=(-1,0)$ 且 $D=(1,0)$

Place the center at the origin and the diameter on the $x$ -axis, so $C=(-1,0)$ and $D=(1,0)$

大提示：

对圆上的 $P=(u,v)$ ，比较 $CP^2=26+2u$ 和 $DP^2=26-2u$

For $P=(u,v)$ on the circle, compare $CP^2=26+2u$ and $DP^2=26-2u$

解答：

取 $O=(0,0)$ 、 $C=(-1,0)$ 、 $D=(1,0)$ ，以及满足 $u^2+v^2=25$ 的 $P=(u,v)$ 。则 $\begin{aligned} CP^2&=26+2u,\\ DP^2&=26-2u \end{aligned}\text{。}$ 因此 $\begin{aligned} (CP+DP)^2 &=52\\ &\quad+2\sqrt{676-4u^2} \end{aligned}\text{。}$ 当 $u=0$ 时该式最大，此时恰有 $CP=DP$ 。

所以正确答案为 E。

Place $O=(0,0),$ $C=(-1,0),$ $D=(1,0),$ and $P=(u,v)$ with $u^2+v^2=25.$ Then $\begin{aligned} CP^2&=26+2u,\\ DP^2&=26-2u. \end{aligned}$ Therefore $\begin{aligned} (CP+DP)^2 &=52\\ &\quad+2\sqrt{676-4u^2}. \end{aligned}$ This is largest when $u=0,$ exactly when $CP=DP.$

Therefore, the correct answer is E.

1958 AMC 12 第 48 题

答案：E

难度评级：1990

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 48 题