Question

内接于半圆的正方形面积与内接于整圆的正方形面积之比为：

The area of a square inscribed in a semicircle is to the area of the square inscribed in the entire circle as:

$1:2$

$2:3$

$2:5$

$3:4$

$3:5$

答案：C

知识点：圆正方形（几何）面积比

难度评级：1470

小提示：

设圆的半径为 $R$ ，内接于半圆的正方形边长为 $s$

Let the circle have radius $R$ and the semicircle-square have side $s$

大提示：

对于内接于半圆的正方形，由一个上顶点可得 $(\frac{s}{2})^2+s^2=R^2$

For the semicircle-square, a top vertex gives $(\frac{s}{2})^2+s^2=R^2$

解答：

对于内接于半圆的正方形，将其底边放在直径上。一个上顶点到圆心的水平距离为 $\frac{s}{2}$ ，竖直距离为 $s$ ，所以 $\left(\frac s2\right)^2+s^2=R^2\text{，}$ 得到 $s^2=\frac{4R^2}{5}$ 。内接于整圆的正方形对角线长为 $2R$ ，故面积为 $2R^2$ 。所求比为 $\frac{\frac{4R^2}{5}}{2R^2}=\frac25\text{。}$

因此，正确答案是 C。

For the square in the semicircle, put its base on the diameter. A top vertex has horizontal distance $\frac{s}{2}$ from the center and vertical distance $s,$ so $\left(\frac s2\right)^2+s^2=R^2,$ giving $s^2=\frac{4R^2}{5}.$ A square inscribed in the full circle has diagonal $2R,$ hence area $2R^2.$ The ratio is $\frac{\frac{4R^2}{5}}{2R^2}=\frac25.$

Thus, the correct answer is C.

1951 AMC 12 第 48 题

答案：C

难度评级：1470

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 48 题