Question

若 $r$ 和 $s$ 是方程 $ax^2+bx+c=0$ 的根，则 $\dfrac1{r^2}+\dfrac1{s^2}$ 的值为：

If $r$ and $s$ are the roots of the equation $ax^2+bx+c=0,$ the value of $\dfrac1{r^2}+\dfrac1{s^2}$ is:

$b^2-4ac$

$\dfrac{b^2-4ac}{2a}$

$\dfrac{b^2-4ac}{c^2}$

$\dfrac{b^2-2ac}{c^2}$

以上答案均不正确

None of these

答案：D

知识点：韦达定理代数变形

难度评级：1530

小提示：

将表达式通分，使其公分母为 $r^2s^2$

Write the expression over the common denominator $r^2s^2$

大提示：

使用 $r+s=-\frac{b}{a}$ 和 $rs=\frac{c}{a}$

Use $r+s=-\frac{b}{a}$ and $rs=\frac{c}{a}$

解答：

由韦达定理， $r+s=-\frac ba,\qquad rs=\frac ca\text{。}$ 因此 $\begin{aligned} \frac1{r^2}+\frac1{s^2} &=\frac{(r+s)^2-2rs}{(rs)^2}\\ &=\frac{b^2-2ac}{c^2} \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 D。

By Vieta’s formulas, $r+s=-\frac ba,\qquad rs=\frac ca.$ Therefore $\begin{aligned} \frac1{r^2}+\frac1{s^2} &=\frac{(r+s)^2-2rs}{(rs)^2}\\ &=\frac{b^2-2ac}{c^2}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is D.

1951 AMC 12 第 47 题

答案：D

难度评级：1530

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 47 题