Question

$\overline{AB}$ 是圆心为 $O$ 的圆的一条固定直径。从圆上任意一点 $C$ 作弦 $\overline{CD}$ ，使其垂直于 $\overline{AB}$ 。当 $C$ 在一个半圆上移动时，角 $OCD$ 的平分线与圆相交于一点，该点始终：

$\overline{AB}$ is a fixed diameter of a circle whose center is $O.$ From $C,$ any point on the circle, a chord $\overline{CD}$ is drawn perpendicular to $\overline{AB}.$ Then, as $C$ moves over a semicircle, the bisector of angle $OCD$ cuts the circle in a point that always:

平分弧 $AB$

Bisects the arc $AB$

三等分弧 $AB$

Trisects the arc $AB$

位置随之变化

Varies

到 $\overline{AB}$ 的距离与到 $D$ 的距离相等

Is as far from $\overline{AB}$ as from $D$

到 $B$ 与 $C$ 的距离相等

Is equidistant from $B$ and $C$

答案：A

知识点：圆角平分线弧

难度评级：1880

小提示：

延长 $\overline{CO}$ 过圆心，交圆于另一点 $E$

Extend $\overline{CO}$ through the center to the opposite point $E$ of the circle

大提示：

因为 $CE$ 是直径且 $CD\perp AB$ ，所以 $C$ 点处的角平分线平分弧 $DE$

Because $CE$ is a diameter and $CD\perp AB,$ the angle bisector at $C$ bisects arc $DE$

解答：

延长 $CO$ ，使其再次交圆于 $E$ 。因为 $CE$ 是直径，所以 $\angle CDE=90^\circ$ 。又因为 $CD\perp AB$ ，所以 $DE\parallel AB$ 。若 $\angle OCD=\angle ECD$ 的平分线交圆于 $P$ ，则相等的圆周角所对弧相等，故 $EP=PD$ 。由于平行弦 $DE$ 的两个端点关于固定直径 $AB$ 对称分布，其弧中点 $P$ 就是弧 $AB$ 的中点。

因此，正确答案是 A。

Extend $CO$ to meet the circle again at $E.$ Since $CE$ is a diameter, $\angle CDE=90^\circ.$ Also $CD\perp AB,$ so $DE\parallel AB.$ If the bisector of $\angle OCD=\angle ECD$ meets the circle at $P,$ equal inscribed angles give equal arcs $EP=PD.$ Because the parallel chord $DE$ has endpoints symmetrically placed relative to the fixed diameter $AB,$ their arc midpoint $P$ is the midpoint of arc $AB.$

Thus, the correct answer is A.

1951 AMC 12 第 46 题

答案：A

难度评级：1880

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 46 题