Question

当 $x$ 小于 $1$ 但大于 $-4$ 时，表达式

$\frac{x^2-2x+2}{2x-2}$

具有：

For values of $x$ less than $1$ but greater than $-4,$ the expression

$\frac{x^2-2x+2}{2x-2}$

has:

既无最大值也无最小值

no maximum or minimum value

最小值 $1$

a minimum value of $1$

最大值 $1$

a maximum value of $1$

最小值 $-1$

a minimum value of $-1$

最大值 $-1$

a maximum value of $-1$

答案：E

知识点：算术-几何平均不等式不等式最优化

难度评级：1830

小提示：

令 $t=x-1$ ，它在给定区间内为负

Set $t=x-1,$ which is negative on the given interval

大提示：

将表达式改写为 $\tfrac12(t+\frac{1}{t})$ ，并使用 $t$ 为负时的均值不等式

Rewrite the expression as $\tfrac12(t+\frac{1}{t})$ and use the negative- $t$ form of AM-GM

解答：

令 $t=x-1$ 。则 $-5\lt t\lt0$ ，且表达式变为 $\frac{t^2+1}{2t} =\frac12\left(t+\frac1t\right)\text{。}$ 当 $t\lt0$ 时， $t+\frac{1}{t}\le-2$ ，等号在 $t=-1$ 时成立。此值允许且对应 $x=0$ 。因此表达式至多为 $-1$ ，其最大值为 $-1$ 。

所以正确答案为 E。

Set $t=x-1.$ Then $-5\lt t\lt0,$ and the expression becomes $\frac{t^2+1}{2t} =\frac12\left(t+\frac1t\right).$ For $t\lt0,$ $t+\frac{1}{t}\le-2,$ with equality when $t=-1.$ That value is allowed and corresponds to $x=0.$ Hence the expression is at most $-1,$ and its maximum is $-1.$

Thus, the correct answer is E.

1958 AMC 12 第 46 题

答案：E

难度评级：1830

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 46 题