Question

在图中，若点 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 都是切点，则 $x$ 等于：

In the diagram, if points $A,$ $B,$ and $C$ are points of tangency, then $x$ equals:

$\dfrac3{16}\text{ 英寸}$

$\dfrac3{16}\text{ in.}$

$\dfrac18\text{ 英寸}$

$\dfrac18\text{ in.}$

$\dfrac1{32}\text{ 英寸}$

$\dfrac1{32}\text{ in.}$

$\dfrac3{32}\text{ 英寸}$

$\dfrac3{32}\text{ in.}$

$\dfrac1{16}\text{ 英寸}$

$\dfrac1{16}\text{ in.}$

答案：E

知识点：相切圆角平分线特殊直角三角形

难度评级：1630

小提示：

图中标出的 $\frac{3}{8}$ 英寸是圆的直径

The marked $\frac{3}{8}$ -inch measure is the circle’s diameter

大提示：

半径为 $\frac{3}{16}$ 时，由于 $\sin30^\circ=\frac{1}{2}$ ，圆心位于 $60^\circ$ 顶点上方 $\frac{3}{8}$ 英寸处

With radius $\frac{3}{16},$ the center is $\frac{3}{8}$ inch above the $60^\circ$ vertex because $\sin30^\circ=\frac{1}{2}$

解答：

半径为 $\frac{3}{16}$ 英寸。圆心位于角平分线上。到任一斜边的垂直半径与从顶点到圆心的线段构成一个含 $30^\circ$ 角的直角三角形，所以圆心位于顶点上方 $\frac{\frac{3}{16}}{\sin30^\circ}=\frac38$ 英寸处。因此上方切线位于顶点上方 $\frac{3}{8}+\frac{3}{16}=\frac{9}{16}$ 英寸处。由于下方水平线位于顶点上方 $\frac{1}{2}$ 英寸处， $x=\frac9{16}-\frac12=\frac1{16}\text{ 英寸}$

因此，正确答案是 E。

The radius is $\frac{3}{16}$ inch. The center lies on the angle bisector. The perpendicular radius to either sloping side and the segment from the vertex to the center form a right triangle with a $30^\circ$ angle, so the center is $\frac{\frac{3}{16}}{\sin30^\circ}=\frac38$ inch above the vertex. Hence the top tangent is $\frac{3}{8}+\frac{3}{16}=\frac{9}{16}$ inch above the vertex. Since the ledge is $\frac{1}{2}$ inch above the vertex, $x=\frac9{16}-\frac12=\frac1{16}\text{ in.}$

Thus, the correct answer is E.

1954 AMC 12 第 46 题

答案：E

难度评级：1630

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 46 题