1954 AMC 12 详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

$5-\sqrt{y^2-25}$ 的平方为：

The square of $5-\sqrt{y^2-25}$ is:

$y^2-5\sqrt{y^2-25}$

$-y^2$

$y^2$

$(5-y)^2$

$y^2-10\sqrt{y^2-25}$

知识点：根式代数变形

难度评级：1260

小提示：

使用 $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

Use $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

大提示：

常数 $25$ 与根式平方后产生的 $-25$ 相消

The constant $25$ cancels with the $-25$ inside the squared radical

解答：

展开可得 $\begin{aligned} &\left(5-\sqrt{y^2-25}\right)^2\\ &\quad=25-10\sqrt{y^2-25}\\ &\qquad{}+y^2-25\\ &\quad=y^2-10\sqrt{y^2-25} \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 E。

Expanding gives $\begin{aligned} &\left(5-\sqrt{y^2-25}\right)^2\\ &\quad=25-10\sqrt{y^2-25}\\ &\qquad{}+y^2-25\\ &\quad=y^2-10\sqrt{y^2-25}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is E.

2.

方程 $\begin{aligned} \frac{2x^2}{x-1}-\frac{2x+7}{3} &{}+\frac{4-6x}{x-1}\\ &{}+1=0 \end{aligned}$ 消去分母后可化为方程 $x^2-5x+4=0$ 。后一个方程的根为 $4$ 和 $1$ 。那么原方程的根为：

The equation $\begin{aligned} \frac{2x^2}{x-1}-\frac{2x+7}{3} &{}+\frac{4-6x}{x-1}\\ &{}+1=0 \end{aligned}$ can be transformed by eliminating fractions to the equation $x^2-5x+4=0.$ The roots of the latter equation are $4$ and $1.$ Then the roots of the first equation are:

$4$ 和 $1$

$4$ and $1$

只有 $1$

only $1$

只有 $4$

only $4$

$4$ 和 $1$ 都不是

neither $4$ nor $1$

$4$ 和另一个根

$4$ and some other root

知识点：分式方程零积性质

难度评级：1340

小提示：

对照原方程的分母检查两个根

Check both roots against the denominator in the original equation

大提示：

消去分母可能会引入一个使原表达式无定义的值

Clearing a denominator can introduce a value at which the original expression is undefined

解答：

变换后的二次方程可因式分解为 $(x-1)(x-4)=0$ 。但原方程的分母含有 $x-1$ ，所以在 $x=1$ 时无定义。代入 $x=4$ 合法，并且满足原方程。

因此，唯一的根是 $4$ ，正确答案是 C。

The transformed quadratic factors as $(x-1)(x-4)=0.$ However, the original equation has denominator $x-1,$ so it is undefined at $x=1.$ Substitution of $x=4$ is valid and satisfies the original equation.

Thus, the only root is $4,$ and the correct answer is C.

3.

若 $x$ 随 $y$ 的立方成正比，且 $y$ 随 $z$ 的五次方根成正比，则 $x$ 随 $z$ 的 $n$ 次方成正比，其中 $n$ 为：

If $x$ varies as the cube of $y,$ and $y$ varies as the fifth root of $z,$ then $x$ varies as the $n$ th power of $z,$ where $n$ is:

$\dfrac1{15}$

$\dfrac53$

$\dfrac35$

$15$

$8$

知识点：比与比例指数换元法

难度评级：1260

小提示：

写成 $x=k_1y^3$ 和 $y=k_2z^{\frac{1}{5}}$

Write $x=k_1y^3$ and $y=k_2z^{\frac{1}{5}}$

大提示：

将第二个变化关系代入第一个，并将指数相乘

Substitute the second variation law into the first and multiply the exponents

解答：

由于 $y$ 与 $z^{\frac{1}{5}}$ 成正比，它的立方与 $z^{\frac{3}{5}}$ 成正比。又因为 $x$ 与 $y^3$ 成正比，所以 $x\propto z^{\frac{3}{5}}\text{。}$ 因此 $n=\frac{3}{5}$ 。

因此，正确答案是 C。

Since $y$ is proportional to $z^{\frac{1}{5}},$ its cube is proportional to $z^{\frac{3}{5}}.$ Because $x$ is proportional to $y^3,$ $x\propto z^{\frac{3}{5}}.$ Hence $n=\frac{3}{5}.$

Thus, the correct answer is C.

4.

$6432$ 与 $132$ 的最大公因数减去 $8$ 后等于：

If the Highest Common Divisor of $6432$ and $132$ is diminished by $8,$ it will equal:

$-6$

$6$

$-2$

$3$

$4$

知识点：最大公约数质因数分解整数运算

难度评级：1180

小提示：

使用欧几里得算法，或将两个数分解质因数

Use the Euclidean algorithm or factor the two numbers

大提示：

它们的最大公因数是 $12$

Their greatest common divisor is $12$

解答：

由欧几里得算法可得 $\gcd(6432,132)=12\text{。}$ 再减去 $8$ ，得到 $12-8=4$ 。

因此，正确答案是 E。

The Euclidean algorithm gives $\gcd(6432,132)=12.$ Diminishing this by $8$ gives $12-8=4.$

Thus, the correct answer is E.

5.

一个正六边形内接于半径为 $10$ 英寸的圆。它的面积为：

A regular hexagon is inscribed in a circle of radius $10$ inches. Its area is:

$150\sqrt3$ 平方英寸

$150\sqrt3$ sq. in.

$150$ 平方英寸

$150$ sq. in.

$25\sqrt3$ 平方英寸

$25\sqrt3$ sq. in.

$600$ 平方英寸

$600$ sq. in.

$300\sqrt3$ 平方英寸

$300\sqrt3$ sq. in.

知识点：正多边形等边三角形三角形面积

难度评级：1360

小提示：

内接正六边形的边长等于圆的半径

An inscribed regular hexagon has side length equal to the circle’s radius

大提示：

将正六边形分成六个边长为 $10$ 的等边三角形

Divide the hexagon into six equilateral triangles of side $10$

解答：

这个正六边形由六个边长为 $10$ 的等边三角形组成。它的面积为 $6\left(\frac{\sqrt3}{4}\cdot10^2\right) =150\sqrt3$ 平方英寸。

因此，正确答案是 A。

The hexagon consists of six equilateral triangles of side $10.$ Its area is $6\left(\frac{\sqrt3}{4}\cdot10^2\right) =150\sqrt3$ square inches.

Thus, the correct answer is A.

6.

$\left(\dfrac1{16}\right)^{a^0}+\left(\dfrac1{16a}\right)^0$ ${}-64^{-\frac{1}{2}}-(-32)^{-\frac{4}{5}}$ 的值为：

The value of $\left(\dfrac1{16}\right)^{a^0}+\left(\dfrac1{16a}\right)^0$ ${}-64^{-\frac{1}{2}}-(-32)^{-\frac{4}{5}}$ is:

$1\dfrac{13}{16}$

$1\dfrac3{16}$

$1$

$\dfrac78$

$\dfrac1{16}$

知识点：指数分数代数变形

难度评级：1450

小提示：

使用 $a^0=1$ ，分别计算四项

Evaluate each of the four terms separately, using $a^0=1$

大提示：

$-32$ 的实五次方根为 $-2$ ，所以 $(-32)^{-\frac{4}{5}}=\frac{1}{16}$

The real fifth root of $-32$ is $-2$ , so $(-32)^{-\frac{4}{5}}=\frac{1}{16}$

解答：

对于符合定义条件的 $a$ ，四项依次为 $\frac1{16},\qquad 1,\qquad \frac18,\qquad \frac1{16}\text{。}$ 因此原表达式为 $\frac1{16}+1-\frac18-\frac1{16}=\frac78\text{。}$

因此，正确答案是 D。

For permissible $a,$ the four terms are $\frac1{16},\qquad 1,\qquad \frac18,\qquad \frac1{16}.$ Therefore the expression is $\frac1{16}+1-\frac18-\frac1{16}=\frac78.$

Thus, the correct answer is D.

7.

一位家庭主妇购买促销连衣裙时节省了 $\$2.50$ 。若她买裙子花了 $\$25$ ，则她节省了约：

A housewife saved $\$2.50$ in buying a dress on sale. If she spent $\$25$ for the dress, she saved about:

$8\%$

$9\%$

$10\%$

$11\%$

$12\%$

知识点：百分数钱币估算

难度评级：890

小提示：

将节省的金额加到促销价上，求出原价

Add the savings to the sale price to recover the original price

大提示：

将 $\frac{2.50}{27.50}$ 化为百分数

Compute $\frac{2.50}{27.50}$ as a percentage

解答：

原价为 $\$27.50$ 。节省的比例为 $\frac{2.50}{27.50}=\frac1{11}\approx0.0909\text{，}$ 约为 $9\%$ 。

因此，正确答案是 B。

The original price was $\$27.50.$ The fraction saved was $\frac{2.50}{27.50}=\frac1{11}\approx0.0909,$ or about $9\%.$

Thus, the correct answer is B.

8.

一个三角形的底边长是一个正方形边长的两倍，并且两者面积相等。则三角形的高与正方形边长之比为：

The base of a triangle is twice as long as a side of a square and their areas are the same. Then the ratio of the altitude of the triangle to the side of the square is:

$\dfrac14$

$\dfrac12$

$1$

$2$

$4$

知识点：三角形面积正方形（几何）比与比例

难度评级：890

小提示：

设正方形边长为 $s$ ，三角形的高为 $h$

Let the square’s side be $s$ and the triangle’s altitude be $h$

大提示：

令 $s^2$ 等于 $\tfrac12(2s)h$

Equate $s^2$ with $\tfrac12(2s)h$

解答：

若正方形边长为 $s$ ，则三角形底边长为 $2s$ 。由面积相等可得 $s^2=\frac12(2s)h=sh\text{。}$ 因此 $h=s$ ，所求比值为 $1$ 。

正确答案是 C。

If the square side is $s,$ the triangle base is $2s.$ Equal areas give $s^2=\frac12(2s)h=sh.$ Thus $h=s,$ so the requested ratio is $1.$

The correct answer is C.

9.

点 $P$ 位于一个圆外，距圆心 $13$ 英寸。从 $P$ 引出的割线依次与圆交于 $Q$ 和 $R$ ，其中割线的外部线段 $\overline{PQ}$ 长 $9$ 英寸， $\overline{QR}$ 长 $7$ 英寸。圆的半径为：

A point $P$ is outside a circle and is $13$ inches from the center. A secant from $P$ cuts the circle at $Q$ and $R$ so that the external segment of the secant $\overline{PQ}$ is $9$ inches and $\overline{QR}$ is $7$ inches. The radius of the circle is:

$3$ 英寸

$3$ in.

$4$ 英寸

$4$ in.

$5$ 英寸

$5$ in.

$6$ 英寸

$6$ in.

$7$ 英寸

$7$ in.

知识点：圆幂圆

难度评级：1400

小提示：

点的幂等于割线外部线段长乘以整条割线长

The secant power is the external length times the whole secant length

大提示：

令 $9(9+7)$ 等于 $13^2-r^2$

Equate $9(9+7)$ with $13^2-r^2$

解答：

点 $P$ 的幂为 $PQ\cdot PR=9(16)=144\text{。}$ 它也等于 $13^2-r^2$ ，所以 $169-r^2=144$ 。因此 $r^2=25$ ，且 $r=5$ 英寸。

因此，正确答案是 C。

The power of $P$ is $PQ\cdot PR=9(16)=144.$ It is also $13^2-r^2,$ so $169-r^2=144.$ Hence $r^2=25$ and $r=5$ inches.

Thus, the correct answer is C.

10.

二项式 $(a+b)^6$ 展开式中各数值系数之和为：

The sum of the numerical coefficients in the expansion of the binomial $(a+b)^6$ is:

$32$

$16$

$64$

$48$

$7$

知识点：二项式定理

难度评级：1180

小提示：

为 $a$ 和 $b$ 取合适的值，即可求出系数之和

The coefficient sum is obtained by choosing convenient values of $a$ and $b$

大提示：

令 $a=b=1$

Set $a=b=1$

解答：

令 $a=b=1$ ，则每个单项式都等于 $1$ ，因此展开式的值等于各系数之和。所以这个和为 $(1+1)^6=64\text{。}$

正确答案是 C。

Setting $a=b=1$ makes every monomial equal to $1,$ so the value of the expansion equals the sum of its coefficients. Thus the sum is $(1+1)^6=64.$

The correct answer is C.

11.

一位商人展示了一些连衣裙，每件都标有价格。然后他贴出告示：“这些连衣裙降价 $\dfrac13$ 。”连衣裙的成本是实际售价的 $\dfrac34$ 。那么成本与标价之比为：

A merchant placed on display some dresses, each with a marked price. He then posted a sign “ $\dfrac13$ off on these dresses.” The cost of the dresses was $\dfrac34$ of the price at which he actually sold them. Then the ratio of the cost to the marked price was:

$\dfrac12$

$\dfrac13$

$\dfrac14$

$\dfrac23$

$\dfrac34$

知识点：百分数钱币比与比例

难度评级：1290

小提示：

售价是标价的 $\frac{2}{3}$

The selling price is $\frac{2}{3}$ of the marked price

大提示：

成本是该售价的 $\frac{3}{4}$

The cost is $\frac{3}{4}$ of that selling price

解答：

若标价为 $M$ ，则售价为 $\frac{2M}{3}$ 。因此成本为 $\frac34\cdot\frac23M=\frac12M\text{。}$ 成本与标价之比为 $\frac{1}{2}$ 。

因此，正确答案是 A。

If the marked price is $M,$ then the selling price is $\frac{2M}{3}.$ The cost is therefore $\frac34\cdot\frac23M=\frac12M.$ The cost-to-marked-price ratio is $\frac{1}{2}.$

Thus, the correct answer is A.

12.

方程组 $\begin{aligned} 2x-3y&=7,\\ 4x-6y&=20 \end{aligned}$ 的解为：

The solution of the equations $\begin{aligned} 2x-3y&=7,\\ 4x-6y&=20 \end{aligned}$ is:

$x=18$ ，且 $y=12$

$x=18,$ and $y=12$

$x=0$ ，且 $y=0$

$x=0,$ and $y=0$

无解

There is no solution

有无穷多个解

There are an unlimited number of solutions

$x=8$ ，且 $y=5$

$x=8,$ and $y=5$

知识点：方程组平行线

难度评级：1360

小提示：

比较第二个等式的左边与第一个等式左边的两倍

Compare the second left-hand side with twice the first

大提示：

第一个方程乘以二后，右边应为 $14$ ，而不是 $20$

Doubling the first equation would require the right-hand side to be $14$ , not $20$

解答：

第二个方程的左边恰好是第一个方程左边的两倍，但右边不是 $7$ 的两倍。这个方程组要求同一个表达式同时等于 $14$ 和 $20$ ，这是不可能的。

因此方程组无解，正确答案是 C。

The left side of the second equation is exactly twice the left side of the first, but its right side is not twice $7.$ The equations would require the same expression to equal both $14$ and $20,$ which is impossible.

Thus, there is no solution, and the correct answer is C.

13.

一个四边形内接于圆。在四边形各边所截出的四段弧上分别作圆周角，且这些角不与各顶点之间的边相交，则四个角之和为：

A quadrilateral is inscribed in a circle. If angles are inscribed in the four arcs cut off by the sides of the quadrilateral, without intersecting the sides between vertices, their sum will be:

$180^\circ$

$540^\circ$

$360^\circ$

$450^\circ$

$1080^\circ$

知识点：圆周角弧角度和

难度评级：1630

小提示：

设四段连续圆弧的度数为 $a,b,c,d$

Let the four consecutive arc measures be $a,b,c,d$

大提示：

顶点位于度数为 $a$ 的圆弧上的圆周角截得另外三段弧，其总度数为 $360^\circ-a$

An angle whose vertex lies in the arc of measure $a$ intercepts the other three arcs, of total measure $360^\circ-a$

解答：

设四段弧的度数为 $a,b,c,d$ ，其和为 $360^\circ$ 。位于度数为 $a$ 的圆弧上的角截得另外三段弧，所以其度数为 $\frac{360^\circ-a}{2}$ ，其余三个角同理。四个角之和为 $\begin{aligned} &\frac{4(360^\circ)-(a+b+c+d)}2\\ &\qquad=\frac{1080^\circ}{2}\\ &\qquad=540^\circ \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 B。

Let the four arcs have measures $a,b,c,d,$ whose sum is $360^\circ.$ The angle placed in the arc of measure $a$ intercepts the other three arcs, so it measures $\frac{360^\circ-a}{2},$ and similarly for the others. Their sum is $\begin{aligned} &\frac{4(360^\circ)-(a+b+c+d)}2\\ &\qquad=\frac{1080^\circ}{2}\\ &\qquad=540^\circ. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.

14.

$\sqrt{1+\left(\dfrac{x^4-1}{2x^2}\right)^2}$ 化简后等于：

When simplified $\sqrt{1+\left(\dfrac{x^4-1}{2x^2}\right)^2}$ equals:

$\dfrac{x^4+2x^2-1}{2x^2}$

$\dfrac{x^4-1}{2x^2}$

$\dfrac{\sqrt{x^2+1}}2$

$\dfrac{x^2}{\sqrt2}$

$\dfrac{x^2}{2}+\dfrac1{2x^2}$

知识点：根式完全平方数代数变形

难度评级：1740

小提示：

将 $1$ 通分到分母 $4x^4$ 上

Put $1$ over the denominator $4x^4$

大提示：

分子变为 $4x^4+(x^4-1)^2=(x^4+1)^2$

The numerator becomes $4x^4+(x^4-1)^2=(x^4+1)^2$

解答：

当 $x\ne0$ 时， $\begin{aligned} &1+\left(\frac{x^4-1}{2x^2}\right)^2\\ &\quad=\frac{4x^4+(x^4-1)^2}{4x^4}\\ &\quad=\frac{(x^4+1)^2}{4x^4} \end{aligned}\text{。}$ 因为 $x^2\gt0$ ，所以它的平方根为 $\frac{x^4+1}{2x^2} =\frac{x^2}{2}+\frac1{2x^2}\text{。}$

因此，正确答案是 E。

For $x\ne0,$ $\begin{aligned} &1+\left(\frac{x^4-1}{2x^2}\right)^2\\ &\quad=\frac{4x^4+(x^4-1)^2}{4x^4}\\ &\quad=\frac{(x^4+1)^2}{4x^4}. \end{aligned}$ Because $x^2\gt0,$ its square root is $\frac{x^4+1}{2x^2} =\frac{x^2}{2}+\frac1{2x^2}.$

Thus, the correct answer is E.

15.

$\log125$ 等于：

$\log125$ equals:

$100\log1.25$

$5\log3$

$3\log25$

$3-3\log2$

$(\log25)(\log5)$

知识点：对数代数变形

难度评级：1280

小提示：

写成 $125=\frac{1000}{8}$

Write $125=\frac{1000}{8}$

大提示：

使用 $\log1000=3$ 和 $\log8=3\log2$

Use $\log1000=3$ and $\log8=3\log2$

解答：

利用对数运算律， $\begin{aligned} \log125 &=\log\left(\frac{1000}{8}\right)\\ &=3-\log(2^3)\\ &=3-3\log2 \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 D。

Using logarithm laws, $\begin{aligned} \log125 &=\log\left(\frac{1000}{8}\right)\\ &=3-\log(2^3)\\ &=3-3\log2. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is D.

16.

若 $f(x)=5x^2-2x-1$ ，则 $f(x+h)-f(x)$ 等于：

If $f(x)=5x^2-2x-1,$ then $f(x+h)-f(x)$ equals:

$5h^2-2h$

$10xh-4x+2$

$10xh-2x-2$

$h(10x+5h-2)$

$3h$

知识点：函数多项式因式分解

难度评级：1340

小提示：

先将 $x+h$ 代入多项式，再减去 $f(x)$

Substitute $x+h$ into the polynomial before subtracting $f(x)$

大提示：

消去同类项后，提取因式 $h$

After cancellation, factor out $h$

解答：

展开并消去同类项可得 $\begin{gathered} f(x+h)-f(x)\\ =5(x+h)^2-2(x+h)-1\\ {}-(5x^2-2x-1)\\ =10xh+5h^2-2h\\ =h(10x+5h-2) \end{gathered}\text{。}$

因此，正确答案是 D。

Expanding and canceling gives $\begin{gathered} f(x+h)-f(x)\\ =5(x+h)^2-2(x+h)-1\\ {}-(5x^2-2x-1)\\ =10xh+5h^2-2h\\ =h(10x+5h-2). \end{gathered}$

Thus, the correct answer is D.

17.

函数 $f(x)=2x^3-7$ 的图像：

The graph of the function $f(x)=2x^3-7$ goes:

向右上方、向左下方延伸

up to the right and down to the left

向右下方、向左上方延伸

down to the right and up to the left

向右上方、向左上方延伸

up to the right and up to the left

向右下方、向左下方延伸

down to the right and down to the left

以上走向均不正确

none of these ways

知识点：多项式函数

难度评级：1180

小提示：

常数 $-7$ 只使图像竖直平移，不改变其两端的走向

The constant $-7$ shifts the graph vertically but does not change its end behavior

大提示：

正系数的奇次首项在右端趋于 $+\infty$ ，在左端趋于 $-\infty$

A positive odd-degree leading term tends to $+\infty$ on the right and $-\infty$ on the left

解答：

首项 $2x^3$ 决定图像两端的走向。当 $x$ 趋于 $+\infty$ 时， $f(x)$ 趋于 $+\infty$ ；当 $x$ 趋于 $-\infty$ 时， $f(x)$ 趋于 $-\infty$ 。因此图像向右上方、向左下方延伸。

正确答案是 A。

The leading term $2x^3$ controls the end behavior. As $x$ tends to $+\infty,$ $f(x)$ tends to $+\infty;$ as $x$ tends to $-\infty,$ $f(x)$ tends to $-\infty.$ Thus the graph goes up to the right and down to the left.

The correct answer is A.

18.

下列集合中，包含所有满足 $2x-3\gt7-x$ 的 $x$ 值的是：

Of the following sets, the one that includes all values of $x$ which will satisfy $2x-3\gt7-x$ is:

$x\gt4$

$x\lt\dfrac{10}{3}$

$x=\dfrac{10}{3}$

$x\gt\dfrac{10}{3}$

$x\lt0$

知识点：不等式一次方程

难度评级：1070

小提示：

将含 $x$ 的项移到一边，常数项移到另一边

Collect the $x$ -terms on one side and constants on the other

大提示：

两边加上 $x+3$ ，得到 $3x\gt10$

Adding $x+3$ to both sides gives $3x\gt10$

解答：

两边加上 $x+3$ ，得到 $3x\gt10\text{，}$ 所以 $x\gt\frac{10}{3}$ 。

因此，正确答案是 D。

Adding $x+3$ to both sides gives $3x\gt10,$ so $x\gt\frac{10}{3}.$

Thus, the correct answer is D.

19.

连接一个三角形内切圆与三边的三个切点，所得三角形的各角：

If the three points of contact of a circle inscribed in a triangle are joined, the angles of the resulting triangle:

总是等于 $60^\circ$

are always equal to $60^\circ$

总是一个钝角和两个不等的锐角

are always one obtuse angle and two unequal acute angles

总是一个钝角和两个相等的锐角

are always one obtuse angle and two equal acute angles

总是锐角

are always acute angles

总是互不相等

are always unequal to each other

知识点：内切圆、内心与内切圆半径圆周角圆

难度评级：1780

小提示：

连接内心与两个相邻切点

Join the incenter to two adjacent points of tangency

大提示：

接触三角形中与顶角 $A$ 相对的角为 $90^\circ-\frac{A}{2}$

The angle of the contact triangle opposite vertex angle $A$ is $90^\circ-\frac{A}{2}$

解答：

通向两个相邻切点的半径分别垂直于对应边。这两条半径所夹的圆心角为 $180^\circ-A$ 。接触三角形中相应的角等于所截圆弧度数的一半，即 $90^\circ-\frac A2\text{。}$ 另外两个角分别为 $90^\circ-\frac{B}{2}$ 和 $90^\circ-\frac{C}{2}$ 。因为三角形的每个角都严格介于 $0^\circ$ 与 $180^\circ$ 之间，所以这三个角都是锐角。

因此，正确答案是 D。

The radii to two adjacent tangency points are perpendicular to the corresponding sides. The central angle between those radii is $180^\circ-A.$ The relevant angle of the contact triangle is half the intercepted arc, giving $90^\circ-\frac A2.$ The other two angles are $90^\circ-\frac{B}{2}$ and $90^\circ-\frac{C}{2}.$ Since every triangle angle lies strictly between $0^\circ$ and $180^\circ,$ all three are acute.

Thus, the correct answer is D.

20.

方程 $x^3+6x^2+11x+6=0$ 有：

The equation $x^3+6x^2+11x+6=0$ has:

没有负实根

no negative real roots

没有正实根

no positive real roots

没有实根

no real roots

$1$ 个正根和 $2$ 个负根

$1$ positive and $2$ negative roots

$2$ 个正根和 $1$ 个负根

$2$ positive and $1$ negative root

知识点：多项式因式分解零积性质

难度评级：1280

小提示：

试验由常数项提示的几个较小负整数

Test the small negative integers suggested by the constant term

大提示：

该多项式可因式分解为 $(x+1)(x+2)(x+3)$

The polynomial factors as $(x+1)(x+2)(x+3)$

解答：

该多项式可因式分解为 $\begin{gathered} x^3+6x^2+11x+6\\ =(x+1)(x+2)(x+3) \end{gathered}\text{。}$ 它的根为 $-1,-2,-3$ ，所以没有正实根。

因此，正确答案是 B。

The polynomial factors as $\begin{gathered} x^3+6x^2+11x+6\\ =(x+1)(x+2)(x+3). \end{gathered}$ Its roots are $-1,-2,-3,$ so it has no positive real roots.

Thus, the correct answer is B.

21.

要求方程 $2\sqrt{x}+2x^{-\frac{1}{2}}=5$ 的根，可以解：

The roots of the equation $2\sqrt{x}+2x^{-\frac{1}{2}}=5$ can be found by solving:

$16x^2-92x+1=0$

$4x^2-25x+4=0$

$4x^2-17x+4=0$

$2x^2-21x+2=0$

$4x^2-25x-4=0$

知识点：根式二次方程代数变形

难度评级：1630

小提示：

乘以 $\sqrt{x}$ ，消去负指数

Multiply by $\sqrt{x}$ to remove the negative exponent

大提示：

在平方之前，将 $2x+2=5\sqrt{x}$ 中的根式单独放在一边

Isolate the radical in $2x+2=5\sqrt{x}$ before squaring

解答：

乘以 $\sqrt{x}$ ，得到 $2x+2=5\sqrt{x}\text{。}$ 两边平方并化简， $4x^2+8x+4=25x\text{，}$ 所以 $4x^2-17x+4=0\text{。}$

因此，正确答案是 C。

Multiplying by $\sqrt{x}$ gives $2x+2=5\sqrt{x}.$ Squaring and simplifying, $4x^2+8x+4=25x,$ so $4x^2-17x+4=0.$

Thus, the correct answer is C.

22.

表达式 $\dfrac{2x^2-x}{(x+1)(x-2)}$ ${}-\dfrac{4+x}{(x+1)(x-2)}$ 在 $x=-1$ 或 $x=2$ 时无定义，因为不能除以零。对于 $x$ 的其他值：

The expression $\dfrac{2x^2-x}{(x+1)(x-2)}$ ${}-\dfrac{4+x}{(x+1)(x-2)}$ cannot be evaluated for $x=-1$ or $x=2,$ since division by zero is not allowed. For other values of $x:$

该表达式会取许多不同的值。

The expression takes on many different values.

该表达式只有一个值 $2$ 。

The expression has only the value $2.$

该表达式只有一个值 $1$ 。

The expression has only the value $1.$

该表达式的值总在 $-1$ 与 $2$ 之间

The expression always has a value between $-1$ and $2.$

该表达式的值大于 $2$ 或小于 $-1$ 。

The expression has a value greater than $2$ or less than $-1.$

知识点：因式分解代数变形

难度评级：1400

小提示：

将两个分式按相同分母合并

Combine the two fractions over their common denominator

大提示：

分子可因式分解为 $2(x+1)(x-2)$

The numerator factors as $2(x+1)(x-2)$

解答：

合并分子，得到 $\begin{gathered} 2x^2-x-(4+x)\\ =2x^2-2x-4\\ =2(x+1)(x-2) \end{gathered}\text{。}$ 对于允许的值 $x\ne-1,2$ ，约去因式后，表达式等于 $2$ 。

因此，正确答案是 B。

Combining the numerators gives $\begin{gathered} 2x^2-x-(4+x)\\ =2x^2-2x-4\\ =2(x+1)(x-2). \end{gathered}$ For the allowed values $x\ne-1,2,$ the factors cancel and the expression equals $2.$

Thus, the correct answer is B.

23.

一件商品的成本为 $C$ 美元，售价为 $S$ 美元。若利润为 $M=\dfrac1nC$ ，则利润可表示为：

If the margin made on an article costing $C$ dollars and selling for $S$ dollars is $M=\dfrac1nC,$ then the margin is given by:

$M=\dfrac1{n-1}S$

$M=\dfrac1nS$

$M=\dfrac n{n+1}S$

$M=\dfrac1{n+1}S$

$M=\dfrac n{n-1}S$

知识点：比与比例代数变形

难度评级：1400

小提示：

同时使用 $S=C+M$ 与 $M=\frac{C}{n}$

Use $S=C+M$ together with $M=\frac{C}{n}$

大提示：

用 $S$ 表示 $C$ ，再除以 $n$

Express $C$ in terms of $S$ , then divide by $n$

解答：

因为 $S=C+M=C+\frac{C}{n}$ ， $\begin{aligned} S&=\frac{n+1}{n}C,\\ C&=\frac n{n+1}S \end{aligned}\text{。}$ 所以 $M=\frac Cn=\frac1{n+1}S\text{。}$

因此，正确答案是 D。

Since $S=C+M=C+\frac{C}{n},$ $\begin{aligned} S&=\frac{n+1}{n}C,\\ C&=\frac n{n+1}S. \end{aligned}$ Therefore $M=\frac Cn=\frac1{n+1}S.$

Thus, the correct answer is D.

24.

使方程 $2x^2-kx+x+8=0$ 有两个相等实根的 $k$ 值为：

The values of $k$ for which the equation $2x^2-kx+x+8=0$ will have real and equal roots are:

$9$ 和 $-7$

$9$ and $-7$

只有 $-7$

only $-7$

$9$ 和 $7$

$9$ and $7$

$-9$ 和 $-7$

$-9$ and $-7$

只有 $9$

only $9$

知识点：二次方程完全平方数

难度评级：1450

小提示：

合并一次项，将 $x$ 的系数写成 $1-k$

Combine the linear terms to write the coefficient of $x$ as $1-k$

大提示：

令判别式 $(1-k)^2-64$ 等于零

Set the discriminant $(1-k)^2-64$ equal to zero

解答：

要有相等实根，必须满足 $(1-k)^2-4(2)(8)=0\text{。}$ 因此 $(1-k)^2=64$ ，所以 $1-k=\pm8$ 。两个值为 $k=9$ 和 $k=-7$ 。

因此，正确答案是 A。

A repeated real root requires $(1-k)^2-4(2)(8)=0.$ Thus $(1-k)^2=64,$ so $1-k=\pm8.$ The two values are $k=9$ and $k=-7.$

Thus, the correct answer is A.

25.

方程 $\begin{aligned} a(b-c)x^2+b(c-a)x\\ {}+c(a-b)&=0 \end{aligned}$ 的两个根为 $1$ 和：

The two roots of the equation $\begin{aligned} a(b-c)x^2+b(c-a)x\\ {}+c(a-b)&=0 \end{aligned}$ are $1$ and:

$\dfrac{b(c-a)}{a(b-c)}$

$\dfrac{a(b-c)}{c(a-b)}$

$\dfrac{a(b-c)}{b(c-a)}$

$\dfrac{c(a-b)}{a(b-c)}$

$\dfrac{c(a-b)}{b(c-a)}$

知识点：韦达定理二次方程

难度评级：1630

小提示：

使用两根之积，不必直接解二次方程

Use the product of the roots rather than solving the quadratic

大提示：

两根之积等于常数项除以首项系数

The product is the constant coefficient divided by the leading coefficient

解答：

由韦达定理，两根之积为 $\frac{c(a-b)}{a(b-c)}\text{。}$ 因为其中一个根是 $1$ ，所以另一个根等于这个乘积。

因此，正确答案是 D。

By Vieta’s formulas, the product of the two roots is $\frac{c(a-b)}{a(b-c)}.$ Since one root is $1,$ the other root equals this product.

Thus, the correct answer is D.

26.

点 $C$ 将直线段 $AB$ 分割，使得 $\overline{AC}=3\overline{CB}$ 。分别以 $\overline{AC}$ 和 $\overline{CB}$ 为直径作圆，两圆的一条公切线与 $\overline{AB}$ 的延长线交于 $D$ 。则 $\overline{BD}$ 等于：

The straight line $AB$ is divided at $C$ so that $\overline{AC}=3\overline{CB}.$ Circles are described on $\overline{AC}$ and $\overline{CB}$ as diameters and a common tangent meets $\overline{AB}$ produced at $D.$ Then $\overline{BD}$ equals:

较小圆的直径

the diameter of the smaller circle

较小圆的半径

the radius of the smaller circle

较大圆的半径

the radius of the larger circle

$\overline{CB}\sqrt3$

两圆半径之差

the difference of the two radii

知识点：相切圆切线位似

难度评级：1700

小提示：

点 $D$ 是两圆的外位似中心

The point $D$ is the external center of similitude of the two circles

大提示：

设 $\overline{CB}=u$ ，并按 $3:1$ 比较 $D$ 到两圆心的距离

Let $\overline{CB}=u$ and compare the distances from $D$ to the two centers in the ratio $3:1$

解答：

设 $\overline{CB}=u$ ，则 $\overline{AC}=3u$ ，且 $\overline{AB}=4u$ 。从 $A$ 起量，两圆心的位置分别为 $\frac{3u}{2}$ 和 $\frac{7u}{2}$ ，两半径之比为 $3:1$ 。若 $AD=z$ ，公切线使 $D$ 成为两圆的外位似中心，所以 $\frac{z-\frac32u}{z-\frac72u}=3\text{。}$ 因此 $z=\frac{9u}{2}$ ，且 $BD=z-4u=\frac u2\text{，}$ 这正是较小圆的半径。

因此，正确答案是 B。

Let $\overline{CB}=u,$ so $\overline{AC}=3u$ and $\overline{AB}=4u.$ Measured from $A,$ the circle centers are at $\frac{3u}{2}$ and $\frac{7u}{2},$ and their radii are in the ratio $3:1.$ If $AD=z,$ the common external tangent makes $D$ the external center of similitude, so $\frac{z-\frac32u}{z-\frac72u}=3.$ Hence $z=\frac{9u}{2},$ and $BD=z-4u=\frac u2,$ which is the radius of the smaller circle.

Thus, the correct answer is B.

27.

一个正圆锥的底面圆与一个给定球的半径相同。圆锥体积是球体积的一半。圆锥的高与底面半径之比为：

A right circular cone has for its base a circle having the same radius as a given sphere. The volume of the cone is one-half that of the sphere. The ratio of the altitude of the cone to the radius of its base is:

$\dfrac11$

$\dfrac12$

$\dfrac23$

$\dfrac21$

$\sqrt{\dfrac54}$

知识点：圆锥球体积

难度评级：1280

小提示：

使用公共半径 $r$ 写出两个体积

Write both volumes using their common radius $r$

大提示：

令 $\frac13\pi r^2h$ 等于 $\frac43\pi r^3$ 的一半

Set $\frac13\pi r^2h$ equal to half of $\frac43\pi r^3$

解答：

体积条件为 $\frac13\pi r^2h=\frac12\left(\frac43\pi r^3\right)\text{。}$ 约去公因式可得 $h=2r$ ，所以所求比为 $2:1$ 。

因此，正确答案是 D。

The volume condition is $\frac13\pi r^2h=\frac12\left(\frac43\pi r^3\right).$ Cancelling the common factors gives $h=2r,$ so the requested ratio is $2:1.$

Thus, the correct answer is D.

28.

若 $\dfrac mn=\dfrac43$ 且 $\dfrac rt=\dfrac9{14}$ ，则 $\dfrac{3mr-nt}{4nt-7mr}$ 的值为：

If $\dfrac mn=\dfrac43$ and $\dfrac rt=\dfrac9{14},$ the value of $\dfrac{3mr-nt}{4nt-7mr}$ is:

$-5\dfrac12$

$-\dfrac{11}{14}$

$-1\dfrac14$

$\dfrac{11}{14}$

$-\dfrac23$

知识点：比与比例分数换元法

难度评级：1590

小提示：

由已知比值可得 $mr:nt=(\frac{m}{n})(\frac{r}{t})$

The given ratios imply $mr:nt=(\frac{m}{n})(\frac{r}{t})$

大提示：

写成 $mr=6k$ 和 $nt=7k$

Write $mr=6k$ and $nt=7k$

解答：

将两个已知比值相乘， $\frac{mr}{nt}=\frac43\cdot\frac9{14}=\frac67\text{。}$ 令 $mr=6k$ 且 $nt=7k$ 。则 $\begin{aligned} \frac{3mr-nt}{4nt-7mr} &=\frac{18k-7k}{28k-42k}\\ &=-\frac{11}{14} \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 B。

Multiplying the two given ratios, $\frac{mr}{nt}=\frac43\cdot\frac9{14}=\frac67.$ Put $mr=6k$ and $nt=7k.$ Then $\begin{aligned} \frac{3mr-nt}{4nt-7mr} &=\frac{18k-7k}{28k-42k}\\ &=-\frac{11}{14}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.

29.

若一个直角三角形的两条直角边之比为 $1:2$ ，则从直角顶点向斜边作垂线后，斜边上对应两段之比为：

If the ratio of the legs of a right triangle is $1:2,$ then the ratio of the corresponding segments of the hypotenuse made by a perpendicular upon it from the vertex is:

$1:4$

$1:\sqrt2$

$1:2$

$1:\sqrt5$

$1:5$

知识点：直角三角形高线相似

难度评级：1420

小提示：

斜边上的两段分别是两条直角边在斜边上的投影

The two hypotenuse segments are the projections of the legs

大提示：

由相似关系，它们的比等于对应直角边平方之比

By similarity, their ratio is the ratio of the squares of the corresponding legs

解答：

若两条直角边长为 $a$ 和 $b$ ，则它们在斜边上的投影长为 $\frac{a^2}{c}$ 和 $\frac{b^2}{c}$ 。因此两段之比为 $a^2:b^2$ 。当 $a:b=1:2$ 时，该比为 $1:4$ 。

因此，正确答案是 A。

If the legs have lengths $a$ and $b,$ their projections on the hypotenuse have lengths $\frac{a^2}{c}$ and $\frac{b^2}{c}.$ Their ratio is therefore $a^2:b^2.$ With $a:b=1:2,$ this is $1:4.$

Thus, the correct answer is A.

30.

$A$ 和 $B$ 合作可在 $2$ 天内完成一项工作； $B$ 和 $C$ 合作需四天； $A$ 和 $C$ 合作需 $2\dfrac25$ 天。 $A$ 单独完成这项工作所需的天数为：

$A$ and $B$ together can do a job in $2$ days; $B$ and $C$ can do it in four days; and $A$ and $C$ in $2\dfrac25$ days. The number of days required for $A$ to do the job alone is:

$1$

$3$

$6$

$12$

$2.8$

知识点：速率方程组

难度评级：1740

小提示：

设 $a,b,c$ 为三人各自每天完成的工作比例

Let $a,b,c$ be the fractions of the job completed per day

大提示：

将 $a+b=\frac{1}{2}$ 与 $a+c=\frac{5}{12}$ 相加，再减去 $b+c=\frac{1}{4}$

Add $a+b=\frac{1}{2}$ and $a+c=\frac{5}{12}$ , then subtract $b+c=\frac{1}{4}$

解答：

设 $a,b,c$ 为三人各自每天的工作效率。则 $\begin{aligned} a+b&=\frac12,\\ b+c&=\frac14,\\ a+c&=\frac5{12} \end{aligned}\text{。}$ 因此 $\begin{aligned} 2a&=(a+b)+(a+c)\\ &\quad{}-(b+c)\\ &=\frac12+\frac5{12}-\frac14\\ &=\frac23 \end{aligned}\text{，}$ 所以 $a=\frac{1}{3}$ 。因此 $A$ 需要 $3$ 天。

因此，正确答案是 B。

Let $a,b,c$ be the individual daily rates. Then $\begin{aligned} a+b&=\frac12,\\ b+c&=\frac14,\\ a+c&=\frac5{12}. \end{aligned}$ Thus $\begin{aligned} 2a&=(a+b)+(a+c)\\ &\quad{}-(b+c)\\ &=\frac12+\frac5{12}-\frac14\\ &=\frac23, \end{aligned}$ so $a=\frac{1}{3}.$ Therefore $A$ needs $3$ days.

Thus, the correct answer is B.

31.

在三角形 $ABC$ 中， $\overline{AB}=\overline{AC}$ ，且 $\angle A=40^\circ$ 。点 $O$ 位于三角形内部，并满足 $\angle OBC\cong\angle OCA$ 。角 $BOC$ 的度数为：

In triangle $ABC,$ $\overline{AB}=\overline{AC},$ $\angle A=40^\circ.$ Point $O$ is within the triangle with $\angle OBC\cong\angle OCA.$ The number of degrees in angle $BOC$ is:

$110$

$35$

$140$

$55$

$70$

知识点：等腰三角形导角角度和

难度评级：1780

小提示：

三角形 $ABC$ 的两个底角均为 $70^\circ$

The base angles of triangle $ABC$ are both $70^\circ$

大提示：

若这两个相等的角为 $x$ ，则角 $C$ 的另一部分为 $70^\circ-x$

If the equal angles are $x,$ then the other part of angle $C$ is $70^\circ-x$

解答：

等腰三角形的两个底角为 $\angle ABC=\angle BCA=70^\circ\text{。}$ 令 $\angle OBC=\angle OCA=x$ 。则 $\angle OCB=70^\circ-x$ 。在三角形 $BOC$ 中， $\begin{aligned} \angle BOC &=180^\circ-x\\ &\quad{}-(70^\circ-x)\\ &=110^\circ \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 A。

The base angles of the isosceles triangle are $\angle ABC=\angle BCA=70^\circ.$ Put $\angle OBC=\angle OCA=x.$ Then $\angle OCB=70^\circ-x.$ In triangle $BOC,$ $\begin{aligned} \angle BOC &=180^\circ-x\\ &\quad{}-(70^\circ-x)\\ &=110^\circ. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is A.

32.

$x^4+64$ 的因式为：

The factors of $x^4+64$ are:

$(x^2+8)^2$

$(x^2+8)(x^2-8)$

$(x^2+2x+4)(x^2-8x+16)$

$(x^2-4x+8)(x^2-4x-8)$

$(x^2-4x+8)(x^2+4x+8)$

知识点：因式分解平方差

难度评级：1420

小提示：

同时加上再减去 $16x^2$ ，构造平方差

Add and subtract $16x^2$ to form a difference of squares

大提示：

写成 $x^4+64=(x^2+8)^2-(4x)^2$

Write $x^4+64=(x^2+8)^2-(4x)^2$

解答：

利用平方差公式， $\begin{aligned} x^4+64 &=(x^2+8)^2-16x^2\\ &=(x^2-4x+8)\\ &\quad{}\cdot(x^2+4x+8) \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 E。

Using a difference of squares, $\begin{aligned} x^4+64 &=(x^2+8)^2-16x^2\\ &=(x^2-4x+8)\\ &\quad{}\cdot(x^2+4x+8). \end{aligned}$

Thus, the correct answer is E.

33.

一家银行对一笔 $\$120$ 的贷款收取 $\$6$ 费用。借款人实际收到 $\$114$ ，并分 $12$ 个月、每月偿还 $\$10$ 。利率约为：

A bank charges $\$6$ for a loan of $\$120.$ The borrower receives $\$114$ and repays the loan in $12$ installments of $\$10$ a month. The interest rate is approximately:

$5\%$

$6\%$

$7\%$

$9\%$

$15\%$

知识点：钱币百分数平均数

难度评级：1630

小提示：

$\$6$ 的费用是按每月减少 $\$10$ 的未偿余额收取的利息

The $\$6$ charge is interest on a balance that decreases by $\$10$ each month

大提示：

用 $\$120$ 与 $\$10$ 的平均数近似未偿本金的平均值

Approximate the average outstanding principal by the average of $\$120$ and $\$10$

解答：

未偿余额从 $\$120$ 到 $\$10$ ，每次等额减少 $\$10$ ，所以平均未偿余额约为 $\frac{120+10}{2}=65\text{。}$ 因此年费用率约为 $\frac6{65}\cdot100\%\approx9.2\%\text{。}$ 最接近的选项是 $9\%$ 。

因此，正确答案是 D。

The balance decreases in equal $\$10$ steps from $\$120$ to $\$10,$ so its average outstanding value is approximately $\frac{120+10}{2}=65.$ The annual charge is therefore about $\frac6{65}\cdot100\%\approx9.2\%.$ The nearest choice is $9\%.$

Thus, the correct answer is D.

34.

分数 $\dfrac13$ ：

The fraction $\dfrac13:$

等于 $0.33333333$

equals $0.33333333$

比 $0.33333333$ 小 $\dfrac1{3\cdot10^8}$

is less than $0.33333333$ by $\dfrac1{3\cdot10^8}$

比 $0.33333333$ 小 $\dfrac1{3\cdot10^9}$

is less than $0.33333333$ by $\dfrac1{3\cdot10^9}$

比 $0.33333333$ 大 $\dfrac1{3\cdot10^8}$

is greater than $0.33333333$ by $\dfrac1{3\cdot10^8}$

比 $0.33333333$ 大 $\dfrac1{3\cdot10^9}$

is greater than $0.33333333$ by $\dfrac1{3\cdot10^9}$

知识点：小数分数位值

难度评级：1630

小提示：

将 $0.33333333$ 写成 $\frac{33333333}{10^8}$

Write $0.33333333$ as $\frac{33333333}{10^8}$

大提示：

使用分母 $3\cdot10^8$ ，从 $\frac{1}{3}$ 中减去这个有限小数

Subtract this terminating decimal from $\frac{1}{3}$ using the denominator $3\cdot10^8$

解答：

准确地说， $\begin{gathered} \frac13-\frac{33333333}{10^8}\\ =\frac{10^8-3(33333333)} {3\cdot10^8}\\ =\frac1{3\cdot10^8} \end{gathered}\text{。}$ 因此 $\frac{1}{3}$ 恰好多出上述数值。

因此，正确答案是 D。

Exactly, $\begin{gathered} \frac13-\frac{33333333}{10^8}\\ =\frac{10^8-3(33333333)} {3\cdot10^8}\\ =\frac1{3\cdot10^8}. \end{gathered}$ Thus $\frac{1}{3}$ is greater by the stated amount.

Thus, the correct answer is D.

35.

在图示直角三角形中，距离 $\overline{BM}$ 与 $\overline{MA}$ 之和等于距离 $\overline{BC}$ 与 $\overline{CA}$ 之和。若 $\overline{MB}=x$ 、 $\overline{CB}=h$ 且 $\overline{CA}=d$ ，则 $x$ 等于：

In the right triangle shown the sum of the distances $\overline{BM}$ and $\overline{MA}$ is equal to the sum of the distances $\overline{BC}$ and $\overline{CA}.$ If $\overline{MB}=x,$ $\overline{CB}=h,$ and $\overline{CA}=d,$ then $x$ equals:

$\dfrac{hd}{2h+d}$

$d-h$

$\dfrac12d$

$h+d-\sqrt{2d}$

$\sqrt{h^2+d^2}-h$

知识点：直角三角形勾股定理根式

难度评级：1740

小提示：

使用勾股定理，用 $d,h,x$ 表示 $\overline{MA}$

Use the Pythagorean theorem to express $\overline{MA}$ in terms of $d,h,x$

大提示：

从 $x+\sqrt{d^2+(h+x)^2}=h+d$ 出发，将根式单独放在一边并平方

From $x+\sqrt{d^2+(h+x)^2}=h+d,$ isolate the radical and square

解答：

由题设条件和勾股定理可得 $x+\sqrt{d^2+(h+x)^2}=h+d\text{。}$ 将根式单独放在一边并平方后， $d^2+(h+x)^2=(h+d-x)^2\text{。}$ 消去相同项，得到 $4hx+2dx=2hd\text{，}$ 所以 $x=\frac{hd}{2h+d}$ 。

因此，正确答案是 A。

The condition and the Pythagorean theorem give $x+\sqrt{d^2+(h+x)^2}=h+d.$ After isolating the radical and squaring, $d^2+(h+x)^2=(h+d-x)^2.$ Cancelling common terms leaves $4hx+2dx=2hd,$ so $x=\frac{hd}{2h+d}.$

Thus, the correct answer is A.

36.

一艘船在静水中的速度为 $15$ 英里每小时。在水流速度为 $5$ 英里每小时的河流中，它顺流航行一段距离后原路返回。往返平均速度与静水速度之比为：

A boat has a speed of $15$ mph in still water. In a stream that has a current of $5$ mph it travels a certain distance downstream and returns. The ratio of the average speed for the round trip to the speed in still water is:

$\dfrac54$

$\dfrac11$

$\dfrac89$

$\dfrac78$

$\dfrac98$

知识点：路程、速度与时间相对速度调和平均数

难度评级：1580

小提示：

顺流和逆流速度分别为 $20$ 英里每小时和 $10$ 英里每小时

The downstream and upstream speeds are $20$ mph and $10$ mph

大提示：

往返距离相等，用总路程的两倍除以 $\frac{d}{20}+\frac{d}{10}$

For equal distances, divide twice the distance by $\frac{d}{20}+\frac{d}{10}$

解答：

若单程距离为 $d$ ，则总时间为 $\frac d{20}+\frac d{10}=\frac{3d}{20}\text{。}$ 因此往返平均速度为 $\frac{2d}{\frac{3d}{20}}=\frac{40}{3}\text{。}$ 它与 $15$ 之比为 $\frac{\frac{40}{3}}{15}=\frac89\text{。}$

因此，正确答案是 C。

For a one-way distance $d,$ the total time is $\frac d{20}+\frac d{10}=\frac{3d}{20}.$ Thus the round-trip average speed is $\frac{2d}{\frac{3d}{20}}=\frac{40}{3}.$ Its ratio to $15$ is $\frac{\frac{40}{3}}{15}=\frac89.$

Thus, the correct answer is C.

37.

在三角形 $PQR$ 中， $\overline{RS}$ 平分 $\angle R$ ， $\overline{PQ}$ 延长至 $D$ ，且 $\angle n$ 为直角。则：

Given triangle $PQR$ with $\overline{RS}$ bisecting $\angle R,$ $\overline{PQ}$ extended to $D,$ and $\angle n$ a right angle, then:

$\angle m=\dfrac12(\angle p-\angle q)$

$\angle m=\dfrac12(\angle p+\angle q)$

$\angle d=\dfrac12(\angle q+\angle p)$

$\angle d=\dfrac12\angle m$

以上答案均不正确

none of these is correct

知识点：角平分线导角角度和

难度评级：1780

小提示：

$R$ 处的角在平分前为 $180^\circ-\angle p-\angle q$

The bisected angle at $R$ measures $180^\circ-\angle p-\angle q$ before it is halved

大提示：

因为横截线垂直于角平分线， $\angle m$ 与 $\angle R$ 的一半互余

Since the transversal is perpendicular to the angle bisector, $\angle m$ complements half of $\angle R$

解答：

$R$ 处的角为 $180^\circ-\angle p-\angle q\text{。}$ 因为 $\overline{RS}$ 平分这个角，所以 $\overline{PR}$ 与 $\overline{RS}$ 的夹角为 $90^\circ-\frac12(\angle p+\angle q)\text{。}$ 构成 $\angle m$ 的直线垂直于 $\overline{RS}$ ，所以 $\angle m=\frac12(\angle p+\angle q)\text{。}$

因此，正确答案是 B。

The angle at $R$ is $180^\circ-\angle p-\angle q.$ Because $\overline{RS}$ bisects this angle, the angle between $\overline{PR}$ and $\overline{RS}$ is $90^\circ-\frac12(\angle p+\angle q).$ The line forming $\angle m$ is perpendicular to $\overline{RS},$ so $\angle m=\frac12(\angle p+\angle q).$

Thus, the correct answer is B.

38.

若 $\log 2=0.3010$ 且 $\log 3=0.4771$ ，则当 $3^{x+3}=135$ 时， $x$ 的近似值为：

If $\log 2=0.3010$ and $\log 3=0.4771,$ the value of $x$ when $3^{x+3}=135$ is approximately:

$5$

$1.47$

$1.67$

$1.78$

$1.63$

知识点：对数指数估算

难度评级：1340

小提示：

除以 $3^3$ ，得到 $3^x=5$

Divide by $3^3$ to obtain $3^x=5$

大提示：

使用 $\log5=1-\log2$ ，再除以 $\log3$

Use $\log5=1-\log2$ and divide by $\log3$

解答：

方程化为 $3^x=5$ ，所以 $\begin{aligned} x&=\frac{\log5}{\log3}\\ &=\frac{1-\log2}{\log3}\\ &=\frac{0.6990}{0.4771}\\ &\approx1.47 \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 B。

The equation reduces to $3^x=5,$ so $\begin{aligned} x&=\frac{\log5}{\log3}\\ &=\frac{1-\log2}{\log3}\\ &=\frac{0.6990}{0.4771}\\ &\approx1.47. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.

39.

从给定圆外一点 $P$ 向圆上任意一点作线段。若该圆的圆心为 $O$ ，半径为 $r$ ，则这些线段中点的轨迹为：

The locus of the midpoint of a line segment that is drawn from a given external point $P$ to a given circle with center $O$ and radius $r,$ is:

垂直于 $\overline{PO}$ 的直线

a straight line perpendicular to $\overline{PO}$

平行于 $\overline{PO}$ 的直线

a straight line parallel to $\overline{PO}$

以 $P$ 为圆心、 $r$ 为半径的圆

a circle with center $P$ and radius $r$

以 $\overline{PO}$ 的中点为圆心、 $2r$ 为半径的圆

a circle with center at the midpoint of $\overline{PO}$ and radius $2r$

以 $\overline{PO}$ 的中点为圆心、 $\dfrac12r$ 为半径的圆

a circle with center at the midpoint of $\overline{PO}$ and radius $\dfrac12r$

知识点：变换中点圆

难度评级：1630

小提示：

设圆上的动点为 $X$ ，它与 $P$ 所成线段的中点为 $M$

Let the variable endpoint on the given circle be $X$ and its midpoint with $P$ be $M$

大提示：

映射 $X\mapsto M$ 是以 $P$ 为中心、比例因子为 $\frac{1}{2}$ 的位似

The map $X\mapsto M$ is a dilation centered at $P$ with scale factor $\frac{1}{2}$

解答：

当端点 $X$ 在以 $O$ 为圆心的圆上移动时，它与定点 $P$ 所成线段的中点 $M$ 是 $X$ 在以 $P$ 为中心、比例因子为 $\frac{1}{2}$ 的位似下的像。因此该轨迹是一个圆，其圆心为 $\overline{PO}$ 的中点，半径为 $\frac{r}{2}$ 。

因此，正确答案是 E。

As the endpoint $X$ moves on the circle centered at $O,$ its midpoint $M$ with the fixed point $P$ is the image of $X$ under a dilation of scale $\frac{1}{2}$ centered at $P.$ Therefore the locus is a circle whose center is the midpoint of $\overline{PO}$ and whose radius is $\frac{r}{2}.$

Thus, the correct answer is E.

40.

若 $\left(a+\dfrac1a\right)^2=3$ ，则 $a^3+\dfrac1{a^3}$ 等于：

If $\left(a+\dfrac1a\right)^2=3,$ then $a^3+\dfrac1{a^3}$ equals:

$\dfrac{10\sqrt3}{3}$

$3\sqrt3$

$0$

$7\sqrt7$

$6\sqrt3$

知识点：代数变形立方和与立方差换元法

难度评级：1670

小提示：

令 $t=a+\frac{1}{a}$ ，则已知条件为 $t^2=3$

Set $t=a+\frac{1}{a}$ , so the given condition is $t^2=3$

大提示：

使用 $a^3+a^{-3}=t^3-3t$

Use $a^3+a^{-3}=t^3-3t$

解答：

令 $t=a+\frac{1}{a}$ 。由标准立方恒等式可得 $a^3+\frac1{a^3}=t^3-3t=t(t^2-3)\text{。}$ 因为 $t^2=3$ ，所以该表达式等于 $0$ 。

因此，正确答案是 C。

Let $t=a+\frac{1}{a}.$ The standard cubic identity gives $a^3+\frac1{a^3}=t^3-3t=t(t^2-3).$ Since $t^2=3,$ this expression is $0.$

Thus, the correct answer is C.

41.

方程 $4x^3-8x^2-63x-9=0$ 的所有根之和为：

The sum of all the roots of $4x^3-8x^2-63x-9=0$ is:

$8$

$2$

$-8$

$-2$

$0$

知识点：韦达定理多项式

难度评级：1260

小提示：

使用三次方程根之和的韦达公式

Use Vieta’s formula for the sum of the roots of a cubic

大提示：

将 $x^2$ 的系数取相反数，再除以 $x^3$ 的系数

Negate the coefficient of $x^2$ and divide by the coefficient of $x^3$

解答：

对于 $ax^3+bx^2+\cdots=0$ ，根之和为 $-\frac{b}{a}$ 。本题中为 $-\frac{-8}{4}=2\text{。}$

因此，正确答案是 B。

For $ax^3+bx^2+\cdots=0,$ the sum of the roots is $-\frac{b}{a}.$ Here it is $-\frac{-8}{4}=2.$

Thus, the correct answer is B.

42.

在同一坐标系中考察 $(1)$ $y=x^2-\dfrac12x+2$ 与 $(2)$ $y=x^2+\dfrac12x+2$ 的图像。这两条抛物线的形状完全相同。则：

Consider the graphs of $(1)$ $y=x^2-\dfrac12x+2$ and $(2)$ $y=x^2+\dfrac12x+2$ on the same set of axes. These parabolas have exactly the same shape. Then:

两图像重合。

the graphs coincide.

$(1)$ 的图像低于 $(2)$ 的图像

the graph of $(1)$ is lower than the graph of $(2).$

$(1)$ 的图像位于 $(2)$ 的图像左侧

the graph of $(1)$ is to the left of the graph of $(2).$

$(1)$ 的图像位于 $(2)$ 的图像右侧

the graph of $(1)$ is to the right of the graph of $(2).$

$(1)$ 的图像高于 $(2)$ 的图像

the graph of $(1)$ is higher than the graph of $(2).$

知识点：抛物线配方法变换

难度评级：1400

小提示：

使用 $-\frac{b}{2a}$ 求每个顶点的 $x$ 坐标

Find the $x$ -coordinate of each vertex using $-\frac{b}{2a}$

大提示：

图像 $(1)$ 的顶点满足 $x=\frac{1}{4}$ ，而图像 $(2)$ 的顶点满足 $x=-\frac{1}{4}$

Graph $(1)$ has vertex $x=\frac{1}{4}$ , whereas graph $(2)$ has vertex $x=-\frac{1}{4}$

解答：

$y=x^2+bx+2$ 的顶点的 $x$ 坐标为 $-\frac{b}{2}$ 。因此图像 $(1)$ 的顶点满足 $x=\frac{1}{4}$ ，而图像 $(2)$ 的顶点满足 $x=-\frac{1}{4}$ 。两个顶点的纵坐标相等，所以图像 $(1)$ 是同一条抛物线向右平移所得。

因此，正确答案是 D。

The vertex of $y=x^2+bx+2$ has $x$ -coordinate $-\frac{b}{2}.$ Thus graph $(1)$ has its vertex at $x=\frac{1}{4},$ while graph $(2)$ has its vertex at $x=-\frac{1}{4}.$ Their vertex heights are equal, so graph $(1)$ is the same parabola shifted to the right.

Thus, the correct answer is D.

43.

一个直角三角形的斜边长为 $10$ 英寸，内切圆半径为 $1$ 英寸。该三角形的周长为多少英寸？

The hypotenuse of a right triangle is $10$ inches and the radius of the inscribed circle is $1$ inch. The perimeter of the triangle in inches is:

$15$

$22$

$24$

$26$

$30$

知识点：直角三角形内切圆、内心与内切圆半径周长

难度评级：1590

小提示：

对直角边为 $a,b$ 、斜边为 $c$ 的直角三角形，内切圆半径为 $\frac{a+b-c}{2}$

For a right triangle with legs $a,b$ and hypotenuse $c,$ the inradius is $\frac{a+b-c}{2}$

大提示：

代入 $r=1$ 与 $c=10$ ，求 $a+b$

Substitute $r=1$ and $c=10$ to find $a+b$

解答：

对于直角三角形， $r=\frac{a+b-c}{2}\text{。}$ 代入 $r=1$ 和 $c=10$ ，得到 $a+b=12$ 。因此周长为 $a+b+c=12+10=22\text{。}$

因此，正确答案是 B。

For a right triangle, $r=\frac{a+b-c}{2}.$ With $r=1$ and $c=10,$ this gives $a+b=12.$ Hence the perimeter is $a+b+c=12+10=22.$

Thus, the correct answer is B.

44.

一名男子出生于十九世纪上半叶。在 $x^2$ 年，他的年龄为 $x$ 岁。他出生于：

A man born in the first half of the nineteenth century was $x$ years old in the year $x^2.$ He was born in:

$1849$

$1825$

$1812$

$1836$

$1806$

知识点：年龄问题完全平方数日期与时间

难度评级：1670

小提示：

他的出生年份为 $x^2-x$

His birth year is $x^2-x$

大提示：

利用 $x^2$ 是十九世纪年份这一条件，试验附近的整数 $x$

Use the requirement that $x^2$ is a nineteenth-century year and test the nearby integer $x$

解答：

年份 $x^2$ 必须位于十九世纪，因此 $x=43$ ，因为 $43^2=1849$ ，而相邻整数的平方不在相关范围内。所以他的出生年份为 $x^2-x=1849-43=1806\text{，}$ 确实位于该世纪上半叶。

因此，正确答案是 E。

The year $x^2$ must lie in the nineteenth century, so $x=43$ because $43^2=1849$ while the neighboring squares fall outside the relevant range. His birth year is therefore $x^2-x=1849-43=1806,$ which is in the first half of the century.

Thus, the correct answer is E.

45.

在菱形 $ABCD$ 内作若干平行于对角线 $\overline{BD}$ 的线段，线段端点位于菱形的边上。以线段到顶点 $A$ 的距离为自变量、线段长度为函数值作图。该图像为：

In a rhombus $ABCD,$ line segments are drawn within the rhombus, parallel to diagonal $\overline{BD},$ and terminated in the sides of the rhombus. A graph is drawn showing the length of a segment as a function of its distance from vertex $A.$ The graph is:

一条经过原点的直线。

a straight line passing through the origin.

一条穿过第一象限的直线。

a straight line cutting across the upper right quadrant.

两条组成正立 $V$ 形的线段

two line segments forming an upright $V.$

两条组成倒置 $V$ 形的线段

two line segments forming an inverted $V.$

以上答案均不正确。

none of these.

知识点：菱形对角线数据与图表解读

难度评级：1630

小提示：

想象把一条平行于 $\overline{BD}$ 的线段从 $A$ 向对面顶点移动

Imagine moving a segment parallel to $\overline{BD}$ from $A$ toward the opposite vertex

大提示：

线段长度先线性增加到整条对角线的长度，再线性减小到零

Its length grows linearly to the full diagonal and then decreases linearly to zero

解答：

从 $A$ 出发时，平行截线的长度为 $0$ ，然后线性增加，直至达到对角线 $\overline{BD}$ 的长度。继续向对面顶点移动时，线段长度线性减小回 $0$ 。因此图像由两条组成倒 $V$ 形的线段构成。

因此，正确答案是 D。

Starting at $A,$ the parallel cross section has length $0$ and grows linearly until it reaches the diagonal $\overline{BD}.$ Continuing toward the opposite vertex, its length decreases linearly back to $0.$ The graph is therefore made of two line segments forming an inverted $V.$

Thus, the correct answer is D.

46.

在图中，若点 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 都是切点，则 $x$ 等于：

In the diagram, if points $A,$ $B,$ and $C$ are points of tangency, then $x$ equals:

$\dfrac3{16}\text{ 英寸}$

$\dfrac3{16}\text{ in.}$

$\dfrac18\text{ 英寸}$

$\dfrac18\text{ in.}$

$\dfrac1{32}\text{ 英寸}$

$\dfrac1{32}\text{ in.}$

$\dfrac3{32}\text{ 英寸}$

$\dfrac3{32}\text{ in.}$

$\dfrac1{16}\text{ 英寸}$

$\dfrac1{16}\text{ in.}$

知识点：相切圆角平分线特殊直角三角形

难度评级：1630

小提示：

图中标出的 $\frac{3}{8}$ 英寸是圆的直径

The marked $\frac{3}{8}$ -inch measure is the circle’s diameter

大提示：

半径为 $\frac{3}{16}$ 时，由于 $\sin30^\circ=\frac{1}{2}$ ，圆心位于 $60^\circ$ 顶点上方 $\frac{3}{8}$ 英寸处

With radius $\frac{3}{16},$ the center is $\frac{3}{8}$ inch above the $60^\circ$ vertex because $\sin30^\circ=\frac{1}{2}$

解答：

半径为 $\frac{3}{16}$ 英寸。圆心位于角平分线上。到任一斜边的垂直半径与从顶点到圆心的线段构成一个含 $30^\circ$ 角的直角三角形，所以圆心位于顶点上方 $\frac{\frac{3}{16}}{\sin30^\circ}=\frac38$ 英寸处。因此上方切线位于顶点上方 $\frac{3}{8}+\frac{3}{16}=\frac{9}{16}$ 英寸处。由于下方水平线位于顶点上方 $\frac{1}{2}$ 英寸处， $x=\frac9{16}-\frac12=\frac1{16}\text{ 英寸}$

因此，正确答案是 E。

The radius is $\frac{3}{16}$ inch. The center lies on the angle bisector. The perpendicular radius to either sloping side and the segment from the vertex to the center form a right triangle with a $30^\circ$ angle, so the center is $\frac{\frac{3}{16}}{\sin30^\circ}=\frac38$ inch above the vertex. Hence the top tangent is $\frac{3}{8}+\frac{3}{16}=\frac{9}{16}$ inch above the vertex. Since the ledge is $\frac{1}{2}$ inch above the vertex, $x=\frac9{16}-\frac12=\frac1{16}\text{ in.}$

Thus, the correct answer is E.

47.

线段 $\overline{AB}$ 长 $p$ 个单位。在其中点作长度为 $q$ 个单位的垂线段 $\overline{MR}$ 。以 $R$ 为圆心、 $\dfrac12\overline{AB}$ 为半径作弧，与 $\overline{AB}$ 交于 $T$ 。则 $\overline{AT}$ 和 $\overline{TB}$ 是下列哪个方程的根？

At the midpoint of line segment $\overline{AB}$ which is $p$ units long, a perpendicular $\overline{MR}$ is erected with length $q$ units. An arc is described from $R$ with a radius equal to $\dfrac12\overline{AB},$ meeting $\overline{AB}$ at $T.$ Then $\overline{AT}$ and $\overline{TB}$ are the roots of:

$x^2+px+q^2=0$

$x^2-px+q^2=0$

$x^2+px-q^2=0$

$x^2-px-q^2=0$

$x^2-px+q=0$

知识点：勾股定理韦达定理圆

难度评级：1740

小提示：

线段长度之和 $\overline{AT}+\overline{TB}$ 等于 $p$

The sum $\overline{AT}+\overline{TB}$ is $p$

大提示：

在直角三角形 $RMT$ 中使用 $RT=\frac{p}{2}=AM$ ，证明 $\overline{AT}\cdot\overline{TB}=q^2$

Use $RT=\frac{p}{2}=AM$ in right triangle $RMT$ to show $\overline{AT}\cdot\overline{TB}=q^2$

解答：

令 $MT=t$ 。因为 $AM=BM=RT=\frac{p}{2}$ ，由勾股定理可得 $t^2+q^2=\frac{p^2}{4}\text{。}$ 此外， $AT=\frac p2+t,\qquad TB=\frac p2-t\text{。}$ 两者之和为 $p$ ，乘积为 $\frac{p^2}{4}-t^2=q^2\text{。}$ 因此它们是 $x^2-px+q^2=0$ 的两个根。

因此，正确答案是 B。

Let $MT=t.$ Since $AM=BM=RT=\frac{p}{2},$ the Pythagorean theorem gives $t^2+q^2=\frac{p^2}{4}.$ Also, $AT=\frac p2+t,\qquad TB=\frac p2-t.$ Their sum is $p,$ and their product is $\frac{p^2}{4}-t^2=q^2.$ Therefore they are the roots of $x^2-px+q^2=0.$

Thus, the correct answer is B.

48.

一列火车出发一小时后发生事故，耽误了半小时；之后以原速度的 $\dfrac34$ 继续行驶，最终晚点 $3\dfrac12$ 小时。若事故发生在前方 $90$ 英里处，火车将只晚点 $3$ 小时。全程长度为多少英里？

A train, an hour after starting, meets with an accident which detains it a half hour, after which it proceeds at $\dfrac34$ of its former rate and arrives $3\dfrac12$ hours late. Had the accident happened $90$ miles farther along the line, it would have arrived only $3$ hours late. The length of the trip in miles was:

$400$

$465$

$600$

$640$

$550$

知识点：路程、速度与时间相对速度方程组

难度评级：2310

小提示：

设正常速度为 $v$ ，全程长度为 $L$ ；在受影响的路段把速度降为 $\frac{3v}{4}$ ，会增加该路段正常行驶时间的三分之一

Let the normal speed be $v$ and the trip length be $L$ ; slowing to $\frac{3v}{4}$ adds one-third of the normal time on the affected distance

大提示：

使用两个晚点方程，先求 $\frac{L}{v}$ ，再求 $\frac{90}{v}$

Use the two late-arrival equations to find first $\frac{L}{v}$ , then $\frac{90}{v}$

解答：

设正常速度为 $v$ ，全程长度为 $L$ 。一段路程以 $\frac{3v}{4}$ 而非 $v$ 的速度行驶，会增加该路段正常行驶时间的三分之一。第一种情况下， $\frac12+\frac13\left(\frac Lv-1\right)=\frac72\text{，}$ 所以 $\frac{L}{v}=10$ 。若事故在前方 $90$ 英里处发生，则 $\frac12+\frac13\left(\frac Lv-1-\frac{90}{v}\right)=3\text{。}$ 代入 $\frac{L}{v}=10$ ，得到 $\frac{90}{v}=\frac{3}{2}$ ，因此 $v=60$ ，且 $L=10v=600\text{。}$

因此，正确答案是 C。

Let the normal speed be $v$ and the trip length be $L.$ Traveling a distance at $\frac{3v}{4}$ rather than $v$ adds one-third of its normal travel time. In the first case, $\frac12+\frac13\left(\frac Lv-1\right)=\frac72,$ so $\frac{L}{v}=10.$ If the accident happens $90$ miles farther along, $\frac12+\frac13\left(\frac Lv-1-\frac{90}{v}\right)=3.$ Substituting $\frac{L}{v}=10$ gives $\frac{90}{v}=\frac{3}{2},$ hence $v=60$ and $L=10v=600.$

Thus, the correct answer is C.

49.

两个奇数的平方差总能被 $8$ 整除。若 $a>b$ ，且 $2a+1$ 与 $2b+1$ 是这两个奇数，为证明这一命题，应将平方差写成：

The difference of the squares of two odd numbers is always divisible by $8.$ If $a>b,$ and $2a+1$ and $2b+1$ are the odd numbers, to prove the given statement we put the difference of the squares in the form:

$(2a+1)^2-(2b+1)^2$

$4a^2-4b^2+4a-4b$

$4[a(a+1)-b(b+1)]$

$4(a-b)(a+b+1)$

$4(a^2+a-b^2-b)$

知识点：整除性奇偶性因式分解

难度评级：1590

小提示：

展开两个平方，并将每个变量与它的后继整数配成一组

Expand the two squares and group each variable with its successor

大提示：

乘积 $a(a+1)$ 与 $b(b+1)$ 都是偶数

Each product $a(a+1)$ and $b(b+1)$ is even

解答：

展开并重新分组， $\begin{aligned} &(2a+1)^2-(2b+1)^2\\ &\qquad=4[a(a+1)-b(b+1)] \end{aligned}\text{。}$ $a(a+1)$ 和 $b(b+1)$ 都是偶数，所以两者之差也是偶数。因此所示表达式能被 $4\cdot2=8$ 整除。

因此，正确答案是 C。

Expanding and regrouping, $\begin{aligned} &(2a+1)^2-(2b+1)^2\\ &\qquad=4[a(a+1)-b(b+1)]. \end{aligned}$ Each of $a(a+1)$ and $b(b+1)$ is even, so their difference is even. The displayed expression is consequently divisible by $4\cdot2=8.$

Thus, the correct answer is C.

50.

在 $7$ 点与 $8$ 点之间，时针与分针夹角为 $84$ 度的时刻，精确到最近一分钟，分别为：

The times between $7$ and $8$ o’clock, correct to the nearest minute, when the hands of a clock will form an angle of $84$ degrees are:

$7{:}23$ 和 $7{:}53$

$7{:}23$ and $7{:}53$

$7{:}20$ 和 $7{:}50$

$7{:}20$ and $7{:}50$

$7{:}22$ 和 $7{:}53$

$7{:}22$ and $7{:}53$

$7{:}23$ 和 $7{:}52$

$7{:}23$ and $7{:}52$

$7{:}21$ 和 $7{:}49$

$7{:}21$ and $7{:}49$

知识点：时钟一次方程估算

难度评级：1870

小提示：

$7{:}00$ 过 $t$ 分钟后，两针的有向夹角为 $210^\circ-5.5t^\circ$

At $t$ minutes after $7{:}00,$ the signed separation of the hands is $210^\circ-5.5t^\circ$

大提示：

解 $\lvert210-5.5t\rvert=84$ ，求出 $t$ 的两个值

Solve $\lvert210-5.5t\rvert=84$ for both values of $t$

解答：

$7{:}00$ 过 $t$ 分钟后，时针位于 $210^\circ+0.5t^\circ$ ，分针位于 $6t^\circ$ 。因此 $|210-5.5t|=84\text{。}$ 两个解为 $\begin{aligned} t&=\frac{126}{5.5}\approx22.91,\\ t&=\frac{294}{5.5}\approx53.45 \end{aligned}\text{。}$ 精确到最近一分钟，两个时刻为 $7{:}23$ 和 $7{:}53$ 。

因此，正确答案是 A。

At $t$ minutes after $7{:}00,$ the hour hand is at $210^\circ+0.5t^\circ$ and the minute hand is at $6t^\circ.$ Thus $|210-5.5t|=84.$ The two solutions are $\begin{aligned} t&=\frac{126}{5.5}\approx22.91,\\ t&=\frac{294}{5.5}\approx53.45. \end{aligned}$ To the nearest minute, the times are $7{:}23$ and $7{:}53.$

Thus, the correct answer is A.