Question

圆内两条互相垂直的弦相交。一条弦被分成长度为 $3$ 与 $4$ 的两段，另一条弦被分成长度为 $6$ 与 $2$ 的两段。则圆的直径为：

Two perpendicular chords intersect in a circle. The segments of one chord are $3$ and $4;$ the segments of the other are $6$ and $2.$ Then the diameter of the circle is:

$\sqrt{89}$

$\sqrt{56}$

$\sqrt{61}$

$\sqrt{75}$

$\sqrt{65}$

答案：E

知识点：弦坐标几何垂直平分线

难度评级：1870

小提示：

将两弦交点置于原点，并将两条垂直的弦置于坐标轴上

Place the chord intersection at the origin and the perpendicular chords on the coordinate axes

大提示：

圆心位于两条弦的垂直平分线上

The circle’s center lies on both chord perpendicular bisectors

解答：

将交点置于 $(0,0)$ ，四个端点为 $(-3,0)$ 、 $(4,0)$ 、 $(0,-2)$ 和 $(0,6)$ 。两条弦的垂直平分线分别为 $x=\frac{1}{2}$ 与 $y=2$ ，所以圆心为 $(\frac{1}{2},2)$ 。使用端点 $(4,0)$ ，得到 $\begin{aligned} r^2 &=\left(4-\frac12\right)^2+(0-2)^2\\ &=\frac{65}{4} \end{aligned}\text{。}$ 因此直径为 $2r=\sqrt{65}$ 。

因此，正确答案是 E。

Place the intersection at $(0,0)$ with endpoints $(-3,0),$ $(4,0),$ $(0,-2),$ and $(0,6).$ The perpendicular bisectors of the chords are $x=\frac{1}{2}$ and $y=2,$ so the center is $(\frac{1}{2},2).$ Using the endpoint $(4,0),$ $\begin{aligned} r^2 &=\left(4-\frac12\right)^2+(0-2)^2\\ &=\frac{65}{4}. \end{aligned}$ Therefore the diameter is $2r=\sqrt{65}.$

Thus, the correct answer is E.

1957 AMC 12 第 46 题

答案：E

难度评级：1870

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 46 题