Question

在圆 $O$ 中，半径 $\overline{OX}$ 的中点为 $Q$ ；在 $Q$ 处， $\overline{AB}\perp\overline{XY}$ 。以 $\overline{AB}$ 为直径的半圆与 $\overline{XY}$ 交于 $M$ 。直线 $AM$ 与圆 $O$ 交于 $C$ ，直线 $BM$ 与圆 $O$ 交于 $D$ 。作直线 $AD$ 。若圆 $O$ 的半径为 $r$ ，则 $AD$ 为：

In circle $O,$ the midpoint of radius $\overline{OX}$ is $Q;$ at $Q,$ $\overline{AB}\perp\overline{XY}.$ The semicircle with $\overline{AB}$ as diameter intersects $\overline{XY}$ in $M.$ Line $AM$ intersects circle $O$ in $C,$ and line $BM$ intersects circle $O$ in $D.$ Line $AD$ is drawn. Then, if the radius of circle $O$ is $r,$ $AD$ is:

$r\sqrt2$

$r$

不是某个内接正多边形的一条边

not a side of an inscribed regular polygon

$\dfrac{r\sqrt3}{2}$

$r\sqrt3$

答案：A

知识点：圆圆周角特殊直角三角形

难度评级：2070

小提示：

因为 $\overline{XY}$ 垂直平分 $\overline{AB}$ ，比较 $MA$ 与 $MB$

Since $\overline{XY}$ perpendicularly bisects $\overline{AB},$ compare $MA$ and $MB$

大提示：

利用半圆求出 $\angle AMB$ ，再利用 $B$ 、 $M$ 、 $D$ 共线

Use the semicircle to find $\angle AMB,$ then use that $B,$ $M,$ and $D$ are collinear

解答：

直线 $XY$ 是 $AB$ 的垂直平分线，所以 $MA=MB$ 。因为 $M$ 在以 $AB$ 为直径的半圆上，所以 $\angle AMB=90^\circ$ 。因此三角形 $AMB$ 为等腰直角三角形，且 $\angle ABM=45^\circ$ 。因为 $B,M,D$ 共线，所以圆周角 $\angle ABD=45^\circ$ ，其所对的弧 $AD$ 为 $90^\circ$ 。因此弦 $AD$ 是内接正方形的一条边，长度为 $AD=r\sqrt2\text{。}$

因此，正确答案是 A。

Line $XY$ is the perpendicular bisector of $AB,$ so $MA=MB.$ Since $M$ lies on the semicircle with diameter $AB,$ $\angle AMB=90^\circ.$ Thus triangle $AMB$ is an isosceles right triangle and $\angle ABM=45^\circ.$ Because $B,M,D$ are collinear, the inscribed angle $\angle ABD=45^\circ,$ so its intercepted arc $AD$ measures $90^\circ.$ Therefore chord $AD$ is a side of an inscribed square and has length $AD=r\sqrt2.$

Thus, the correct answer is A.

1957 AMC 12 第 47 题

答案：A

难度评级：2070

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 47 题