Question

若 $x$ 大于零，则正确的关系为：

If $x$ is greater than zero, then the correct relationship is:

$\log(1+x)=\dfrac{x}{1+x}$

$\log(1+x)\lt\dfrac{x}{1+x}$

$\log(1+x)\gt x$

$\log(1+x)\lt x$

以上答案均不正确

none of these

答案：D

知识点：logarithmic inequality exponential function

难度评级：1450

小提示：

当 $x\gt0$ 时，将 $1+x$ 与指数函数比较

Compare $1+x$ with an exponential function for $x\gt0$

大提示：

对常用对数而言，标准不等式 $\ln(1+x)\lt x$ 甚至更强

The standard inequality $\ln(1+x)\lt x$ is even stronger for common logarithms

解答：

当 $x\gt0$ 时，由标准指数不等式可得 $1+x\lt e^x$ 。两边取自然对数，得到 $\ln(1+x)\lt x\text{。}$ 若 $\log$ 表示常用对数，则 $\begin{aligned} \log(1+x)&=\frac{\ln(1+x)}{\ln10}\\ &\lt\ln(1+x) \end{aligned}\text{，}$ 因而选项中的同一不等式成立。

因此，正确答案是 D。

For $x\gt0,$ the standard exponential inequality gives $1+x\lt e^x.$ Taking natural logarithms yields $\ln(1+x)\lt x.$ If $\log$ denotes the common logarithm, then $\begin{aligned} \log(1+x)&=\frac{\ln(1+x)}{\ln10}\\ &\lt\ln(1+x), \end{aligned}$ so the same listed inequality holds.

Thus, the correct answer is D.

1953 AMC 12 第 47 题

答案：D

难度评级：1450

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 47 题